Question

Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja
(klamra)
x^3 dla x<2
ax+b dla x>=2

jest ciągła i różniczkowalna w punkcie x = 2.

Answer 1

Aby funkcja była ciągła na całym przedziale to musi być również ciągła w punkcie x=2. (ponieważ dla x^3 i f. liniowej ax+b jest ciągła, ponieważ są to wielomiany na całej swojej dziedzinie).
Aby zachodziła ciągłość w x=2 to:

2-  oraz 2+  oznaczają odpowiednio granica lewo- i prawostronna przy x dążącym do 2.


Stąd 8=2a+b    Wyznaczę  b=8-2a
Zatem
y=ax+8-2a  dla a∈R
Nie ma drugiego warunku, więc zostaje rozwiązanie z parametrem a.

 

Różniczkowalność w punkcie badamy najpierw licząc pochodne danych funkcji:

f’(x) = 3x^2 dla x<2

                a dla x>2

 

f’(2) = 2*4 = 12

a = 12