Question

Dla jakich p i q jedno z rozwiązań równania x^2 + px+q=0 jest dwukrotnością drugiego? (wykorzystaj wzór Viete'a na iloczyn rozwiązań). Zapisz obliczenia. Potrzebuje na dziś, bo inaczej spam.

Answer 1

Witam!

Ze wzorów viete'a wiadomo, że jeżeli funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c ma dwa pierwiastki rzeczywiste to ich iloczyn jest równy c/a.

Aby znaleźć poszukiwane wartości parametrów p,q należy wypisać warunki:

Δ>0, aby w ogóle istniały 2 pierwiastki, czyli:
p^2-4q>0, czyli p^2>4q, więc p>2√q

Załóżmy, że tymi dwoma pierwiastkami są liczby x₁ i x₂. Z treści zadania wiadomo, że ma zachodzić: x₁=2x₂. Czyli iloczyn tych pierwiastków z jednej strony jest równy:

x₁x₂=2(x₂)^2

A z wzorów Viette'a:
x₁x₂=q/1=q=2(x₂)^2, czyli:

x₂=√(0,5q) i jednocześnie x₁=2√(0,5q)

Czyli podsumowując, aby równanie x^2 + px+q=0 miało dwa pierwiastki gdzie jeden jest dwukrotnością drugiego po pierwsze: p>2√q, a po drugie pierwiastki muszą być równe: x₁=2√(0,5q) i x₂=√(0,5q).

Pozdrawiam!