Question

Diketahui limas segitiga beraturan PQRS panjang rusuk QR = a cm dan PQ = a√3 cm . sudut antara PS dan bidang QRS adalah , maka nilai cos α =

Answer 1

Buat Limas beraturan P. QRS dgn P titik sudut puncak dan QRS alas.
Jika QRS segitiga sama sisi 

QR = RS = QS = a
sisi tegak PQ = PR =PS = a√3

Karena alas segitiga sama sisi, maka garis tegak pada bidang segitiga
sama sisi  (misal : garis ST)        = √QR²-(1/2 RS)²
                                                = √a²- (1/2 a)²
                                                = √a² - 1/4 a²
                                                = √a² (1- 1/4)
                                                = a √3/4
                                                = 1/2 a√3 cm
 
 perbandingan  titik berat pd garis T, 2 : 1
 sehingga OS : OT = 2 : 1 
    
 OS =  2/3 x ST
        = 2/3. 1/2 a√3
        = 1/3 a√3

cos α = OS / PS
         = 1/3 a√3  / a√3
         = 1/3 


                                    

Answer 2

Misal titik O titik tengah QR
sudut antara PS dan bidang QRS = sudut PSO = α
QR = RS = QS = a  ⇒ OS = 1/2√3 x a = 1/2 a√3
PQ = PR = PS = a√3  ⇒ OP = 1/2 √3 x a√3 = 3/2 a

OP² = OS² + PS² - 2 OS PS Cos PSO
(3/2 a)² = (1/2 a√3)² + (a√3)² - 2(1/2 a√3)(a√3) Cosα
9/4 a² = 3/4 a² + 3a² - 3a² Cos α
9/4 a² - (3/4 a² + 3a²) = -3a² Cosα
- 6/4 a² = -3a² Cosα
(- 6/4 a²)/(-3a²) = cos α
1/2 = cos α