Question

Deska o masie m i długości l leży na granicy zetknięcia dwóch stołów, na stole pierwszym.
Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby przesunąć ją ze stołu pierwszego na drugi, jeżeli
współczynniki tarcia pomiędzy deską a stołem wynoszą f 1 i f 2 , odpowiednio dla pierwszego i
drugiego stołu, a przyspieszenie ziemskie g?

Answer 1

Załóżmy, że w pewnym momencie na drugim stole jest odcinek x deski. Na pierwszym wtedy oczywiście jest jej odcinek L - x  (patrz rysunek).

Przesuwając w poziomie należy działać co najmniej siłą F równą całkowitemu tarciu deski o stoły:    F = T1 + T2  ,    gdzie T1 = f1·N1   i     T2 = f2·N2

F = f1·N1 + f2·N2 = f1·m1·g + f2·m2·g

Masy m1 i m2 są równe chwilowemu "podziałowi" masy deski pomiędzy oba stoły (proporcjonalnie do odcinków deski na stołach) i wynoszą:
m1 = m·(L - x)/L              m2 = m·x/L

F = f1·m·g·(L - x)/L + f2·m·g·x/L = f1·m·g + (f2 - f1)·m·g·x/L

Żeby uniknąć jednak całek w dalszym rozwiązaniu można zauważyć, że zależność siły F od położenia x jest funkcją liniową. Do obliczenia pracy można więc wziąć średnią siłę z dwóch :  F' (dla x = 0)  i  F" (dla x = L).
Fsr = (F' + F")/2

F' = f1·m·g            F" = f2·m·g

Fsr = (f1 + f2)·m·g/2

Praca siły Fsr na drodze L:          W = Fsr·L = (f1 + f2)·m·g·L/2