Question

dany jest trojkat ABC, w ktorym |AB|=2√(19) i |∢ACB|=120°.
a)wyznacz dlugosci pozostalych bokow trojkata, wiedzac ze ich suma jest rowna 10
b)oblicz pole trojkata

odp:
a) a=4,b=6 lub a=6,b=4
b) P=6√3

Answer 1

a)

I AB I = c =  2 p(19)

I < ACB I = 120 st

a = I BC I , b = I AC I

oraz    a + b = 10  =>  b = 10 - a

Z tw. cosinusów mamy:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 a*b* cos I < ACB I

Po podstawieniu otrzymamy

( 2 p(19))^2 = a^2 + ( 10 -a)^2 - 2*a*(10 -a)*cos 120 st

4*19 = a^2 + 100 - 20a + a^2 - 2*a*( 10 - a)*( - sin 30 st)

76 = 2 a^2 - 20 a + 100 - 2*a*(10 -a)*( - 1/2)

76 = 2 a^2 - 20 a + 100 + 10a - a^2

a^2 - 10 a + 24 = 0

(a -4)*(a - 6) = 0

a = 4  lub  a = 6

zatem

b = 10 - 4 = 6   lub  b = 10 - 6 = 4

Odp. a = 4, b = 6   lub  a = 6, b = 4

=================================

b)

P = 0,5 ab sin 120 st = 0,5*4*6 * cos 30 st =12 * p(3)/2 = 6 p(3)

=========================================================