Question

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a = 6 cm i ∢ nachylenia krawędzi bocznej do podstawy o mierze α =60
a) oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa
b) objętość i pole powierzchni tego ostrosłupa

Answer 1

A = 6 cm
α = 60⁰

Obliczam wysokość podstawy ( Δ równoboczny):
h1 = a √3 /2 = ( 6 cm)√3 / 2 = 3√3 cm
Ostrosłup ABCW
W - wierzchołek ostrosłupa
Δ ABC podstawa ostrosłupa
O - punkt przecięcia się wysokości Δ ABC
Δ BOW jest prostokątny
I ∢ OBW I = α = 60⁰
OB = (2/3) h1 = (2/3)* 3√3 cm = 2√3 cm

a) Obliczam długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa BW
W Δ BOW mamy
OB / BW = cos α -----> BW = OB / cosα = OB / cos 60⁰
BW = [2√3 cm]/[ 1/2] = [2√3 cm] * 2 = 4√3 cm
b)
Objętość ostrosłupa
V = (1/3)* Pp *h
h² = BW² - OB² = (4√3 cm)² - (2√3 cm)² =( 48 - 12) cm² =36 cm²
h = √36 cm = 6 cm
V = (1/3) * (1/2) a*h1 * h = (1/6)* 6 cm*3√3 cm * 6 cm =
= 18√3 cm³
Pole powierzchni ostrosłupa
Pc = Pp + Pb
Obliczam wysokość trójkąta równoramiennego ABW ( ściana
boczna ostrosłupa)
Niech D oznacza środek odcinka AB
Mamy BD = 0,5* AB = 0,5 * 6 cm = 3 cm
h2 = DW
Mamy
(h2)² = BW² - BD² = (4√3 cm)² - ( 3 cm)² =( 48 - 9) cm² = 39 cm²
h2 = √39 cm
Pb =3* (1/2) a * h2 =(3/2)* 6 cm * √39 cm = 9√39 cm²

Pc = Pp + Pb = (1/2)*a*h1 + Pb = (1/2)*6 cm*3√3 cm + Pb =
=( 9√3 + 9√39) cm² = 9*(√3 + √39) cm²