Question

Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, w którym krawędzie boczne mają długość 10 cm, zaś przekątna podstawy ma 6 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Answer 1

dl. kraw,bocznej b=10cm

wysokosc  ostroslupa=H

wysokosc sciany bocznej =h

przekatna podstawy=d=6

dł. kraw,podstawy=a

podstawa jest szesciokatem foremnym, ktory ma zawsze  2 przekatne

jezeli dluzsza przekatna podstawy d=6 wtedy :

wzor na dluzsza przekatna d=2a  to ½d=a

d=6

a=½·6=3

z pitagorasa:

3²+H²=b²

9+H²=10²

H²=100-9

H=√91cm

V=⅓Pp·H=⅓·3(3²√3)/2 ·√91=(9√3)/2 √91=(9√273)/2 =4,5√273 cm

liczymy h sciany bocznej ostroslupa

krotsza przekatna x=a√3  to ½ x=a√3/2 =(3√3)/2 

z pitagorasa:

(3√3/2)²+H²=h²

27/4 +(√91)=h²

6¾+91=h²

h=√97¾=√391/2 

Pb=6·½·a·h=3·3·√391/2 =4,5√391 

Pc=Pp+Pb=3(3²√3)/2 +4,5√391 =13,5√3+4,5√391cm²

-------------------------------------------------------------------

jezeli przekatna podstawy krotsza wynosi d=6cm wtedy

d=a√3

6=a√3

a=6/√3=2√3

Pp=3[(2√3)²·√3)/2 =3· 6√3 =18√3 cm²

to dluzsza przekatna x=2a =>½x=a=2√3

z pitagorasa:

(½x)²+H²=b²

(2√3)²+H²=10²

H²=100-12

H=√88=2√22cm

V=⅓Pp·H=⅓·18√3 ·2√22 [36√66]/3 =12√66cm³

liczymy hs sciany bocznej bryly

(½d)²+H²=hs²

(½·6)²+H²=hs²

3²+(2√22)²=hs²

9+88=hs²

hs=√97cm

Pb=6·½·a·hs=3·2√3·√97=6√291

Pc=Pp+Pb=18√3+6√291 =6(3√3+√291)cm²