Question

Dany jest okrąg o równaniu x²+2x+y²-8y+12=0. Z punktu o wspołrzednych (2,5) poprowadzono proste styczne do tego okręgu w punktach A i B. Oblicz długość cięciwy AB.

Answer 1

Równanie ogólne okręgu o środku w punkcie O = (a, b) i promieniu r = √(a² + b² - c) wyraża się wzorem:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

 

x² + 2x + y² - 8y + 12  = 0

 

- 2a = 2  /: (- 2)

a = - 1

 

-2b = - 8  /:(- 2)

b = 4

 

c = 12

 

Stąd:

 

Zatem dany okrąg to okrąg o śrdoku O = (-1; 4) i promieniu r = √5

 

Z punktu P = (2; 5) poprowadzone styczne do okręgu o(O, r) w punkatch A i B.

 

r = |OA| = |OB| = √5

 

 

Trójkąty OAP i OBP są prostokątne, bo promień okregu jest prostopadły do stycznej. Stąd:

|AP|² = |OP|² - |OA|²

|AP|² = (√10)² - (√5)²

|AP|² = 10 - 5

|AP|² = 5

|AP| = √5

czyli ΔOAP to trójkąt prostokątny równoramienny

 

|BP|² = |OP|² - |OB|²

|BP|² = (√10)² - (√5)²

|BP|² = 10 - 5

|BP|² = 5

|BP| = √5

czyli ΔOBP to trójkąt prostokątny równoramienny

 

Stąd wniosek, że czworokąt APBO to kwadrat, a odcinki OP i AB to jego przekątne, czyli

|AB| = |OP| = √10

 

Odp. Cięciwa AB ma długość √10.