Trzy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego an są pierwiastkami wielomianu W(x)= x3 + px2 + tx +8. O.... Question from @spoczkooo

November 2018 1 85 Report

Trzy początkowe wyrazy ciągu geometrycznego an są pierwiastkami wielomianu W(x)= x3 + px2 + tx +8. Oblicz p i t wiedząc, że S_5/S_10=32/31 , gdzie S_n oznacza sumę początkowych wyrazów ciągu

Roma

a₁, a₂, a₃ - początkowe wyrazy ciągu geoemtrycznego (an)

q - iloraz ciągu geometrycznego (an) i q ≠ 1

--------------

Zał. q ≠ 1, bo dla q = 1

$S_n = na_1, \ czyli \\\ S_5 = 5a_1 \ i \ S_{10} = 10a_1 \\\ Zatem: \\\ \frac{S_5}{S_{10}} = \frac{5a_1}{10a_1} = \frac{1}{2} \neq \frac{32}{31}$

--------------

n-ty wyraz ciągu geometrycznego (an) wyraża się wzorem:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Stąd:

$a_1 = a \\\ a_2 = a_1 \cdot q = aq \\\ a_3 = a_1 \cdot q^2 = aq^2$

Z treści zadania:

$\frac{S_5}{S_{10}} = \frac{32}{31}$

Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym a₁ i ilorazie q ≠ 1, wyraża się wzorem:

$S_n= \frac{a_1 \cdot (1- q^n)}{1 - q}$

Zatem:

$S_5= \frac{a \cdot (1- q^5)}{1 - q}; \ S_{10}= \frac{a \cdot (1- q^{10})}{1 - q} \\\\ \frac{S_5}{S_{10}} = \frac{32}{31} \\\\ \frac{\frac{a \cdot (1- q^5)}{1 - q}}{\frac{a \cdot (1- q^{10})}{1 - q}} = \frac{32}{31} \\\\ \frac{a \cdot (1- q^5)}{1 - q} : \frac{a \cdot (1- q^{10})}{1 - q} = \frac{32}{31} \\\\ \frac{a \cdot (1- q^5)}{1 - q} \cdot \frac{1-q}{a \cdot (1- q^{10})} = \frac{32}{31} \\\\ \frac{1-q^5}{1- q^{10}} = \frac{32}{31} \\\\ 31 \cdot (1 - q^5) = 32 \cdot (1 - q^{10})$

$31 - 31q^5 = 32 - 32q^{10} \\\ 31 - 31q^5 - 32 + 32q^{10} = 0 \\\ 32q^{10} - 31q^5 - 1 = 0 \\\ podstawiamy \ x = q^5: \\\ 32x^2 - 31x - 1 = 0 \\\ \Delta = (-31)^2 - 4 \cdot 32 \cdot (- 1) = 961 + 128 = 1089 \\\ x_1 = \frac{-(-31) - \sqrt{1089}}{2 \cdot 32} = \frac{31-33}{64}=\frac{-2}{64} = - \frac{1}{32} \\\ x_2 = \frac{-(-31) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 32} = \frac{31+33}{64}=\frac{64}{64} = 1$

$x = - \frac{1}{32} \\\ q^5 = -\frac{1}{32} \\\ q^5 = (-\frac{1}{2})^5 \\\ q = -\frac{1}{2} \\\\ x = 1 \\\ q^5 = 1 \\\ q^5 = 1^5 \\\ q = 1 \ odrzucamy, \ bo \ q \neq 1 \\\\ Zatem: \\\ q = -\frac{1}{2}$

Stąd:

$a_1 = a \\\\ a_2 = aq = a \cdot (-\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}a \\\\ a_3 = aq^2 = a \cdot (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}a$

Z treści zadania:

a₁, a₂, a₃ - pierwiastki wielomianu W(x) = x³ + px² + tx + 8

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy W(a) = 0

Zatem:

$W(a_1) = W(a) = a^3 + pa^2 + ta +8 \\\ Zatem: \\\ a^3 + pa^2 + ta +8 = 0 \\\\ W(a_2) = W(-\frac{1}{2}a) = (-\frac{1}{2}a)^3 + p \cdot (-\frac{1}{2}a)^2 + t \cdot (-\frac{1}{2}a) +8 =\\\ = -\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}pa^2 -\frac{1}{2}ta +8 \\\ Zatem: \\\ -\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}pa^2 -\frac{1}{2}ta +8 = 0 \ /\cdot 8 \\\ -a^3 + 2pa^2 -4ta +64=0$

$W(a_3) = W(\frac{1}{4}a) = (\frac{1}{4}a)^3 + p \cdot (\frac{1}{4}a)^2 + t \cdot (\frac{1}{4}a) +8 = \frac{1}{64}a^3 +\\\ + \frac{1}{16}pa^2 + \frac{1}{4}ta +8 \\\ Zatem: \\\ \frac{1}{64}a^3+ \frac{1}{16}pa^2 + \frac{1}{4}ta +8 = 0 \ / \cdot (-64) \\\ -a^3 -4pa^2 - 16ta - 512 = 0$