Question

dany jest odcinek o koncach a=(1,2) i b=(-1,-4). funkcja f przyporzadkowuje odcietej dowolnego punktu P nalezacego do odcinka AB odleglosc |PR| ,

gdzie R=(0,1). wyznacz wzor, zbior wartosci i wartosc najmniejsza funkcji f.

prosze o bardzo dokladne rozpisanie z wyjasnieniem

Answer 1

A = ( 1 ; 2),  B = (- 1; - 4)

P = (x; y)  -  punkt odcinka AB

R = (0; 1 )

-----------------

Wyznaczam równanie prostej AB:

 

y = a x + b

zatem

2 = a + b

-4 = -a + b

------------------  dodaję stronami

-2 = 2 b

b = - 1

======

a = 2 - b = 2 - (-1) = 3

======================

pr AB :  y = 3x  - 1

zatem punkt P ma współrzędne :

P =  ( x ; y) = ( x ; 3x - 1),  gdzie   - 1 < =  x  < =  1

Obliczam odległość I PR I:

R = ( 0 ; 1)

zatem

I PR I^2 = ( 0 - x)^2 + (1 - ( 3x - 1) )^2 = x^2  + (2 - 3 x)^2 = x^2 + 4 - 12 x + 9 x^2

I PR I^2 = 10 x^2 - 12 x + 4

==========================

delta = ( - 12)^2 - 4*10*4 = 144 - 160 < 0

oraz  a = 10 > 0 , zatem  10 x^2 - 12 x + 4 > 0  dla dowolnej liczby  x

czyli istnieje pierwiastek z ( 10 x^2 - 12 x + 4)

I PR I = p [ 10 x^2 - 12 x + 4 ]

Mamy zatem funkcję

f :  < - 1; 1 > ---> R  ; y = f(x) = p [10 x^2 - 12 x + 4 ]

==============================================================

Łatwo zauważyć, że f przyjmuje najwiekszą wartość, gdy P = B , czyli dla x = - 1

f(-1) = p[ 10*(-1)^2 - 12*(-1) + 4 ] = p [ 10  + 12 + 4 ] = p[ 26 ]

Wyznaczymy teraz najmniejszą wartośc funkcji f :

Pierwiastek będzie najmniejszy, gdy liczba pod pierwiastkiem będzie najmniejsza.

z = 10 x^2 - 12 x + 4

a = 10 > 0  czyli  funkcja   z = 10 x^2 - 12 x + 4  posiada najmniejszą wartość  dla

x = p = 12/20 = 6/10 = 3/5

czyli

q = 10*(3/5)^2 - 12*(3/5) + 4 = 10*(9/25) - 36/5 + 4 = 18/5 - 36/5 + 4 =

= - 18/5 + 20/5 = 2/5

y min = p(2/5) = p(10)/5  = około  0,63

=====================

Zbiór wartości funkcji f :

ZW = < p(10)/5 ;  p(26) >

======================