Question

Dany jest czworokąt o wierzchołkach A(-2,-3), B(4;0), C(2;4), D(-4,1).Napisz równania prostych w których zawierają się boki tego czworokąta.Uzasadnij że czworokąt ten jest prostokątem.

Proszę o wszystkie obliczenia

Answer 1

A = (-2; -3), B = (4 ; 0 ), C = (2 ; 4 ), D = ( -4; 1)
prosta AB
y = ax + b
-3 = -2a + b
0 = 4a + b
---------------------- odejmujemy stronami
3 = 4a +2a
6a = 3
a = 0,5
b = -4a = -4*0,5 = -2
pr AB: y = 0,5 x - 2
------------------------------
prosta DC
4 = 2a + b
1 = -4 a + b
------------------ odejmujemy stronami
3 = 6a
a = 0,5
b = 1 + 4a = 1 +4*0,5 = 1 +2 = 3
pr DC : y = 0,5 x + 3
------------------------------------------------------------------
prosta AD
-3 = -2 a + b
1 = -4 a + b
----------------- odejmujemy stronami
4 = -4a -(-2 a) = -4a + 2a = - 2a
a = 4 : (-2) = -2
b = 1 + 4a = 1 + (-2)*4 = 1 -2 = - 1
pr. AD : y = - 2 x - 1
---------------------------
prosta BC
0 = 4a + b
4 = 2 a + b
--------------------- odejmujemy stronami
4 = 2a - 4a = - 2a
a = 4 : (-2) = -2
b = 4 - 2 a = 4 - -2*(-2) = 4 + 4 = 8
pr BC : y = -2 x + 8
Zauważamy, że
pr AB II pr DC oraz pr AD II pr BC
zatem czworokąta ABCD jest równoległobokiem.
Należy sprawdzić, czy jest prostokątem.
Sprawdźmy czy kąt miedzy pr AB oraz pr BC jest prosty :
pr AB : y = 0,5 x - 2
pr BC : y = -2 x + 8
mamy a1 = 0,5 oraz a2 = -2
zatem a1*a2 = 0,5 *(-2) = -1
czyli te proste są prostopadłe.
Pozostałe kąty też są proste zatem równoległobok ABCD
jest prostokątem.
======================================================

Answer 2

A = (-2 , -3)
B = (4 , 0 )
C = (2 , 4 )
D = ( -4 , 1)

Prosta odcinka AB
y = ax + b
-3 = -2a + b
0 = 4a + b
3 = 4a +2a
6a = 3
a = 0,5
b = -4a = -4 * 0,5 = -2
AB
y = 0,5 x - 2
prosta odcinka DC
4 = 2a + b
1 = -4 a + b
3 = 6a
a = 0,5
b = 1 + 4a = 1 +4*0,5 = 1 +2 = 3
DC
y = 0,5 x + 3
prosta odcinka AD
-3 = -2 a + b
1 = -4 a + b
4 = -4a -(-2 a) = -4a + 2a = - 2a
a = 4 : (-2) = -2
b = 1 + 4a = 1 + (-2)*4 = 1 -2 = - 1
AD
y = - 2 x - 1
prosta odcinka BC
4a + b =0
2 a + b=4
4 = 2a - 4a = - 2a
a = 4 : (-2) = -2
b = 4 - 2 a = 4 - -2*(-2) = 4 + 4 = 8
BC : y = -2 x + 8
AB
y = 0,5 x - 2
BC
y = -2 x + 8
a1 = 0,5
a2 = -2
a1*a2 = 0,5 *(-2) = -1
odp. Równoległobok ABCD jest prostokątem.