Dany jest ciąg: Wykaż, że: a) b).... Question from @Undead22

Undead22 @Undead22

December 2018 1 81 Report

Dany jest ciąg:

$t_n= \frac{n(n+1)}{2} \to n=0,1,2...$

Wykaż, że:

a) $S_n=t_0+t_1+t_2+...+t_n= \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}$
b) $\Sigma_{k=0}^n\frac{k(k+1)(k+2)}{3!} =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}$

MrPolygon A)

$t_n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\{}\\\\t_0=\frac{1}{2}\cdot0^2+\frac{1}{2}\cdot0\\\\t_1=\frac{1}{2}\cdot1^2+\frac{1}{2}\cdot1\\\\t_2=\frac{1}{2}\cdot2^2+\frac{1}{2}\cdot2\\\\t_3=\frac{1}{2}\cdot3^2+\frac{1}{2}\cdot3\\\\\vdots\\\\+t_n=\frac{1}{2}\cdot{}n^2+\frac{1}{2}\cdot{}n\\\rule{5cm}{1pt}\\S_n=\frac{1}{2}\cdot(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+\frac{1}{2}\cdot(1+2+3+\ldots+n)$

W tym momencie należy posłużyć się wzorem na sumę kolejnych liczb naturalnych oraz wzorem na sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych - oba można łatwo udowodnić przez indukcję (lub samodzielnie wyprowadzić ;) ).

$S_n=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=\\\\{}\\=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{12}+\dfrac{3n(n+1)}{12}=\\\\{}\\=\dfrac{n(n+1)\cdot(2n+1+3)}{12}=\\\\{}\\=\dfrac{n(n+1)\cdot2\cdot(n+2)}{12}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3!}\\\\\rule{10cm}{1pt}$

b) Oznaczmy $a_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ . Wtedy $a_n=\frac{1}{6}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{3}n$ .

$a_0=\frac{1}{6}\cdot0^3+\frac{1}{2}\cdot0^2+\frac{1}{3}\cdot0\\\\a_1=\frac{1}{6}\cdot1^3+\frac{1}{2}\cdot1^2+\frac{1}{3}\cdot1\\\\a_2=\frac{1}{6}\cdot2^3+\frac{1}{2}\cdot2^2+\frac{1}{3}\cdot2\\\\a_3=\frac{1}{6}\cdot3^3+\frac{1}{2}\cdot3^2+\frac{1}{3}\cdot3\\\vdots\\+a_n=\frac{1}{6}\cdot{}n^3+\frac{1}{2}\cdot{}n^2+\frac{1}{3}\cdot{}n\\\rule{5cm}{1pt}\\\sum\limits_{k=0}^na_k=\frac{1}{6}\cdot(1^3+\ldots+n^3)+\frac{1}{2}\cdot(1^2+\ldots+n^2)+\frac{1}{3}\cdot(1+\ldots+n)=$

$=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{3}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\\{}\\\\=\frac{n^2(n+1)^2}{24}+\frac{2n(n+1)(2n+1)}{24}+\frac{4n(n+1)}{24}=\\{}\\\\=\frac{n(n+1)\cdot[n(n+1)+2(2n+1)+4)]}{24}=\\{}\\\\=\frac{n(n+1)\cdot(n^2+5n+6)}{24}=\\{}\\\\=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}$

2 votes Thanks 1

More Questions From This User See All

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Witam, mam problem z jednym programem w Octave: Mianowicie chcę podać wartość stałej na samym początku i zmusić program do liczenia całki na danym przedziale: clear all, close all, clear hidden; n=input('Podaj wykladnik x^n: ') c=0 d=3 function y=wielomian(x) y=x^n endfunction; Pole=disp(quad("wielomian",c,d)) Ale program wyrzuca błąd, że n jest niezdefiniowane... Już ponad godzinę nad tym siedzę i nie wiem, jak to naprawić, z góry dziękuję za pomoc.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Udowodnij, że każdy wyraz ciągu o wzorze ogólnym: Jest liczbą złożoną. Proszę o dowód bez tw. Fermata.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Zdrowych wesołych Świąt, dużo radości, szczęścia oraz samych sukcesów zarówno dla moderatorów, jak i dla osób rozwiązujących zadania oraz dla tych, którzy nie boją się pytać :) Aby odpowiedzieć, należy obliczyć wyznacznik macierzy (załącznik). ///Khan.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Oblicz całkę nieoznaczoną: 1225.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Wykaż, że jeżeli dane jest równanie kwadratowe:, w którym to :)

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Oblicz pochodną funkcji:

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Po maturze rozszerzonej małe zadanko ode mnie dla lepszego utrwalenia )) Dany jest wielomian stopnia trzeciego: . Suma wszystkich współczynników wielomianu wynosi . Wielomian posiada różne rozwiązania , które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy . Wyznacz . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Wykaż, że ciąg: jest zbieżny.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Więc tak, sprawa dzieje się w kraju kwitnącej lipy. Ktoś sobie wymyślił niby proste równanie, ale okazuje się że taki żółtodziób jak ja nie potrafi policzyć delty, bo mu wychodzi gamma, nieważne. Coś tu trzeba wyznaczyć: Próbowałem , ale nie wiem, co za podstawić do tych pierwiastków. Proszę bardzo o pomoc. Daję połowę swoich punktów bo na więcej mnie nie było stać a szkoda mi ich bo można na doładowanie od Sim Plusa zamienić. Jeszcze raz z góry dzięki za pomoc. A i jeszcze jedno, jeśli nie grałeś w żadnym filmie Petera Jacksona to prawdopodobnie tego nie rozwiążesz, bo trudne.

Undead22 January 2019 | 0 Replies

Rozwiąż równanie kwadratowe: Tylko proszę bez durnych żartów. Najlepiej, żeby ktoś poważny to zrobił, jakiś boss.

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Terms of Service

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Get in touch

Social

© Copyright 2013 - 2025 KUDO.TIPS - All rights reserved.