Question

Dane są dwa okręgi o1(S1,2) i o2(S2,r). Odległość między ich środkami wynosi 4. Dla jakiej długości r okręgi o1 i o2 mają dwa punkty wspólne?

A. r ∈ (2;6)
B. r ∈ (6;8)
C. r ∈ ⟨2;6⟩
D. r ∈ ⟨6;8⟩

Answer 1

Okręgi będą miały dwa punkty wspólne wtedy i tylko wtedy, gdy będą się przecinały. Taka sytuacja następuje, gdy    |r1-r2|<|S1S2|<r1+r2
|r1-r2|=|2-r|
r1+r2=2+r
Czyli:        |2-r|<4<2+r
z drugiej nierówności mamy, że 4<2+r czyli r>2
Tu zadanie można zakończyć, ponieważ jest tylko jedna taka odpowiedź: A (przedział musi być otwarty, jeżeli będzie domknięty oznacza to styczność okręgu a to daje tylko jeden punkt wspólny)
Dokończmy jednak zadanie:
z pierwszej nierówności mamy |2-r|<4
Stąd -4<2-r<4     
Po rozwiązaniu tego:
r<6  i r>-2  . Druga nierówność jest oczywista, bo promień jest nieujemny.
Stąd mamy r<6
Łącząc to z r>2 wychodzi przedział z A.