Question

Dana jest funkcja:

Funkcja g przyporzadkowuje każdej wartości parametru m liczbe miejsc zerowych funkcji f. Podaj wzór i naszkicuj wykres funkcji g.

Answer 1

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c zależy od wartości wyróżnika Δ = b² - 4ac:
- Δ > 0 funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe
- Δ = 0 funkcja kwadratowa ma jedno podwójne miejsce zerowe
- Δ < 0 funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

 

 

 

Funkcja f(x) jest kwadratowa, gdy a ≠ 0, dlatego sprawdzimy najpierw ile miejsc zerowych będzie miała ta funkcja, gdy nie będzie funkcją kwadratową, czyli gdy a = 0, zatem:

 

Zatem dla m = 0 funkcja f(x) ma jedno miejsce zerowe

 

Jeśli funkcja f(x) jest funkcją kwadratową, to o ilości miejsc zerowych decyduje wyróżnik Δ, zatem:

 

Musimy teraz sprawdzićdla jakich wartości m obliczona Δ = m² - 10m + 9  będzie równa, większa oraz mniejsza od zera:

 

Zatem dla m = 1 i m = 9, czyli dla m ∈ {1; 9}funkcja f(x) ma jedno miejsce zerowe

 

Zaznaczamy miejsca zerowe 1 i 9 ma osi liczbowej i z wykresu (patrz załącznik) odczytujemy rozwiązanie nierówności m² - 10m + 9 > 0, czyli zbiór tych argumetów m, dla ktrórych wartości są dodatnie:

 

Zatem dla m ∈ (- ∞; 1) u (9; + ∞)funkcja f(x) ma dwa miejsca zerowe

 

Zaznaczamy miejsca zerowe 1 i 9 ma osi liczbowej i z wykresu (patrz załącznik) odczytujemy rozwiązanie nierówności m² - 10m + 9 < 0, czyli zbiór tych argumetów m, dla ktrórych wartości są ujemne:

 

Zatem dla m ∈ (1; 9)funkcja f(x) nie ma miejsc zerowych

 

Biorąc pod uwagę wszystkie obliczenia otrzymujemy:

 

Wykres funkcji g - patrz załącznik