Dana jest funkcja: W jakich punktach wykresu tej funkcji należy poprowadzić równoległe styczne, aby .... Question from @Undead22

Cyna4 Witaj.

$f(x)=\frac{-x}{x+1}$

Liczymy pochodną:

$f'(x)=\frac{(-1)(x+1)-(1)(-x)}{(x+1)^{2}}=\frac{-x-1+x}{(x+1)^{2}}=\frac{-1}{(x+1)^{2}}$

Punkty, przez które przechodzą styczne:

$C=(c;\frac{-c}{c+1})\\\\D=(d;\frac{-d}{d+1})$

Ponadto bez straty ogólności możemy założyć, że:

$c>-1$

Współczynniki kierunkowe stycznych:

$a_{1}=f'(c)=\frac{-1}{(c+1)^{2}}\\\\a_{2}=f'(d)=\frac{-1}{(d+1)^{2}}$

Równania stycznych:

$y=a_{1}x+b_{1}\\\\\frac{-c}{c+1}=\frac{-1}{(c+1)^{2}}\cdot c+b_{1}\\\\\frac{-c^{2}-c}{(c+1)^{2}}=\frac{-c}{(c+1)^{2}}+b_{1}\\\\b_{1}=\frac{-c^{2}}{(c+1)^{2}}\\\\y=a_{2}x+b_{2}\\\\\frac{-d}{d+1}=\frac{-1}{(d+1)^{2}}\cdot d+b_{2}\\\\\frac{-d^{2}-d}{(d+1)^{2}}=\frac{-d}{(d+1)^{2}}+b_{2}\\\\b_{2}=\frac{-d^{2}}{(d+1)^{2}}$

$y=\frac{-1}{(c+1)^{2}}x+\frac{-c^{2}}{(c+1)^{2}}\\\\y=\frac{-1}{(d+1)^{2}}x+\frac{-d^{2}}{(d+1)^{2}}$

Styczne są równoległe, zatem:

$a_{1}=a_{2}\\\\\frac{-1}{(c+1)^{2}}=\frac{-1}{(d+1)^{2}}\\\\-(d+1)^{2}=-(c+1)^{2}\\\\(c+1)^{2}=(d+1)^{2}\\\\(c+1)=(d+1)\ \ lub\ \ (c+1)=-(d+1)\\\\c=d\ \ lub\ \ c=-d-2$

Punkty nie pokrywają się, więc bierzemy drugi wynik, mamy:

$d=-c-2$

Wyznaczamy odległość między prostymi:

$D=\frac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

Przekształcamy równania stycznych do postaci ogólnej:

$\frac{1}{(c+1)^{2}}+y+\frac{c^{2}}{(c+1)^{2}}=0\\\\\frac{1}{(-c-1)^{2}}+y+\frac{(-c-2)^{2}}{(-c-1)^{2}}=0\ =>\ \frac{1}{(c+1)^{2}}+y+\frac{(c+2)^{2}}{(c+1)^{2}}=0$

Liczymy odległość:

$D=\frac{|\frac{(c+2)^{2}}{(c+1)^{2}}-\frac{c^{2}}{(c+1)^{2}}|}{\sqrt{(\frac{1}{(c+1)^{2}})^{2}+1^{2}}}=\frac{|\frac{4c+4}{(c+1)^{2}}|}{\sqrt{\frac{(c+1)^{4}+1}{(c+1)^{4}}}}=\frac{\frac{1}{(c+1)^{2}}\cdot|4c+4|}{\frac{1}{(c+1)^{2}}\cdot\sqrt{(c+1)^{4}+1}}=\frac{4c+4}{\sqrt{(c+1)^{4}+1}}$

Mamy funkcję, musimy znaleźć argument, dla którego przyjmuje ona największą wartość:

$g(c)=\frac{4c+4}{\sqrt{(c+1)^{4}+1}}=\frac{4c+4}{\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}}$

Liczymy pochodną funkcji:

$g'(c)=(\frac{4c+4}{\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}})'=\\\\=\frac{(4)(\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2})-(\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2})'(4c+4)}{(c+1)^{4}+1}=$

$=\frac{4\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}-\frac{1}{2\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}}\cdot(4c^{3}+12c^{2}+12c+4)\cdot(4c+4)}{(c+1)^{4}+1}=$

$=\frac{4\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}-\frac{16c^{4}+16c^{3}+48c^{3}+48c^{2}+48c^{2}+48c+16c+16}{2\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}}}{(c+1)^{4}+1}=\\\\=\frac{\frac{4(c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}{\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}}-\frac{8c^{4}+32c^{3}+48c^{2}+32c+8}{\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}}}{(c+1)^{4}+1}=$

$=\frac{\frac{-4c^{4}-16c^{3}-24c^{2}-16c}{\sqrt{c^{4}+4c^{3}+6c^{2}+4c+2}}}{(c+1)^{4}+1}=\\\\=\frac{-4c(c^{3}+4c^{2}+6c+4)}{((c+1)^{4}+1)(\sqrt{(c+1)^{4}+1})}=\\\\=\frac{-4c(c^{3}+2c^{2}+2c^{2}+4c+2c+4)}{((c+1)^{4}+1)(\sqrt{(c+1)^{4}+1})}=\\\\=\frac{-4c(c^{2}(c+2)+2c(c+2)+2(c+2))}{((c+1)^{4}+1)(\sqrt{(c+1)^{4}+1})}=\\\\=\frac{-4c(c+2)(c^{2}+2c+2)}{((c+1)^{4}+1)(\sqrt{(c+1)^{4}+1})}$

Mianownik mamy zawsze dodatni, rysujemy więc tylko przebieg zmiany znaku licznika (w załączniku).

Mamy dziedzinę c>-1, więc otrzymaliśmy tylko jedno ekstremum, jest to maksimum:

$g(0)=2\sqrt{2}$

Zatem funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu c=0. Otrzymujemy zatem szukane współrzędne punktów:

$C=(0;0)\\\\D=(-2;-2)$

2 votes Thanks 1

wik8947201 $\\f\prime(x)=\frac{-(x+1)+x}{(x+1)^2}=\frac{-1}{(x+1)^2}
\\
\\a=-1
\\
\\y=-x+b
\\
\\\frac{-x}{x+1}=-x+b/*(x+1)
\\
\\-x=-x^2+bx-x+b
\\
\\x^2+(2+b)x+b=0
\\
\\\Delta=(2+b)^2-4b=0 \ warunek \ stycznosci
\\
\\4+4b+b^2-4b=0
\\
\\b^2+4b=0
\\
\\b(b+4)=0
\\
\\b=0 \ \vee \ b=-4
\\
\\y=-x \ \vee \ y=-x-4
$ $\\x+y=0, \ x+y+4=0
\\
\\d=\frac{|C-1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}
\\
\\d=\frac{4}{1+1}=4
\\
\\A=(0,0) \ (miejsce \ zerowe \ f(x))
\\
\\B=(a,b)
\\
\\y=-x+b
\\
\\-a+b=4
\\
\\-a-a=4
\\
\\-2a=4
\\
\\a=-2
\\
\\-2+b+4=0
\\
\\b=-2
\\
\\B=(-2,-2)$

1 votes Thanks 1

Udowodnij, że każdy wyraz ciągu o wzorze ogólnym: Jest liczbą złożoną. Proszę o dowód bez tw. Fermata.

Zdrowych wesołych Świąt, dużo radości, szczęścia oraz samych sukcesów zarówno dla moderatorów, jak i dla osób rozwiązujących zadania oraz dla tych, którzy nie boją się pytać :) Aby odpowiedzieć, należy obliczyć wyznacznik macierzy (załącznik). ///Khan.

Oblicz całkę nieoznaczoną: 1225.

Wykaż, że jeżeli dane jest równanie kwadratowe:, w którym to :)

Oblicz pochodną funkcji:

Wykaż, że ciąg: jest zbieżny.

Rozwiąż równanie kwadratowe: Tylko proszę bez durnych żartów. Najlepiej, żeby ktoś poważny to zrobił, jakiś boss.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social