Question

Cześć, jeszcze raz ja, zgodnie z tym co pisałem ostatnio podaje następną część zadań.

1. Narysuj wykresy funkcji:
a) y=-2x²+8x-5
b) y=x²+3x
c) y=x²-6x+9
d) y=-x²+4x-5

2. Rozwiąż równania:
a) x²+7x=8
b) 3x²-4x=0
c) x²+4x+4=0
d)(x-2)²=2x-4
e) -x²+4x-5=0

3. Rozwiąż nierówności:
a) -x²-7x+8≥0
b) 3x²-4x>0
c) x²+4x+4>0
d) -x²-7x+8<0
e) 3x²-4x≤0
f) x²+4x+4<0
g) -x²+4x-5≥0
h) -x²+4x-5<0

4. Oblicz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym jeśli:
a) f(x)=-x²-7x+8 ; <-4,1>
b) f(x)=3x²+6x-5 ; <0,3>

Dzięki wielkie za rozwiązanie poprzednich, mam nadzieje że z tymi nie będzie problemów :)

Answer 1

z.2
a) x² + 7x = 8
x² + 7x - 8 = 0
Δ =7² - 4*1*(-8) = 49 + 32 = 81
√Δ = 9
x1 = [ -7 - 9]/2 = - 16/2 = - 8
x2 = [ -7 + 9]/2 = 2/2 = 1
-----------------------------
b) 3x² - 4 x = 0
x*(3x - 4) = 0
x = 0 lub 3x - 4 = 0
x = 0 lub 3x = 4 / : 3
Odp. x1 = 0 oraz x2 = 4/3
---------------------------------
c)
x² + 4x + 4 = 0
( x + 2)² = 0
x + 2 = 0
x = - 2
---------------------
d)
( x -2)² = 2x - 4
x² - 4x + 4 - 2x + 4 = 0
x² - 6x + 8 = 0
Δ = (- 6)² - 4*1*8 = 36 - 32 = 4
√Δ = 2
x1 = [ 6 -2]/2 = 4/2 = 2
x2 = [ 6 +2]/2 = 8/2 = 4
----------------------------------
e)
- x² + 4x - 5 = 0
a = -1
b = 4
c = -5
Δ = b² - 4 a c = 4² - 4*(-1)*(-5) = 16 - 20 = -4 < 0
Równanie nie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.
a w liczbach zespolonych :
Δ = - 4 = 4 i²
√Δ = 2 i
x1 = [-4 -2i] / (-2) = 2 + i
x2 = [ -4 +2i ]/(-2) = 2 - i
=================================================
z.1
Wykresy
a) y = - 2 x² + 8x - 5
x = 0 , to y = -2*0² +8*0 - 5 = - 5
A = ( 0; -5)
x = 4, to y = - 32 + 32 - 5 = -5
B = (4 ; - 5)
p = -b/2a = -8/(-4) = 2
Δ = 64 - 4*(-2)*(-5) = 64 - 40 = 24
√Δ = 2√6
q = - Δ /4a = -24/(-8) = 3
zatem wierzchołek paraboli W = (p; q) = (2; 3)
Miejsca zerowe:
x1 = [-8 - 2√6]/(-4) = 2 + 0,5 √6
x2 = 2 - 0,5 √6
Ponieważ a = -2 < 0 wykres funkcji czyli parabola
zwrócona jest wierzchołkiem ku górze.
Przechodzi przez punkty A = ( 0; -5) i B = (4; -5 ).
Jej osią symetrii jest prosta o równaniu x = p = 2
------------------------------------------------------------
b)
y = x² + 3x = x *(x + 3)
miejsca zerowe: x1 = -3 oraz x2 = 0
p = -3/2 = -1,5
q = y(p) = -1,5*(-1,5 +3) = -1,5*1,5 = - 2,25
W = ( -1,5 ; -2,25)
a = 1 > 0 - wierzchołek paraboli W jest na dole
x = -2 , to y = 4 - 6 = -2
x = -1 , to y = 1 - 3 = -2
x = 0 , to y 0
Parabola ma wierzchołek W = (-1,5; -2,25),przechodzi przez
punkty A = ( -2; -2) i B = (-1; -2), przecina oś OX w punktach:
( -3;0) i (0; 0 ) oraz oś OY w punkcie ( 0; 0).
--------------------------------------------------------------------------
c)
y = x² + 6x + 9 = (x + 3)²
miejsce zerowe: x = -3
p = - 3
q = 0
W = ( -3 ; 0)
a = 1 > 0 - wierzchołek paraboli jest u dołu
x = - 5 , to y = (-2)² = 4
x = -1 , to y = 2² = 4
oś symetrii - posta o równaniu x = -3
------------------------------------------------------------------------
d)
y = - x² + 4x - 5
p = -4 /(-2) = 2
Δ = 16 -4*(-1)*(-5) = 16 - 20 = - 4 < 0 -nie ma miejsc zerowych
q = -Δ/4a = 4/(-4) = -1
W = (2 ; -1)
oś symetrii - posta o równaniu x = 2
x = 0 , to y = -5
x = -1 , to y = -1 -4 - 5 = - 10
x = 4, to y = - 16 + 16 - 5 = -5
x = 5, to y = - 25 + 20 - 5 = - 10
a = - 1 zatem wierzchołek W jest u góry , a wykres
przechodzi przez punkty: (-1;-10),(0;-5),(4;-5),(5; -10),(1;-2),
(3; -2).
=========================================================
z.3
a) - x² - 7x + 8 ≥ 0
a = -1 < 0
Δ = 49-4*(-1)*8 =49 +32 = 81
√Δ = 9
x = [7 -9]/(-2) = 1
lub
x = [7 +9]/(-2) = 16/(-2) = -8
a < 0
zatem x ∈ <-8; 1 >
--------------------------------
b)
3x² - 4x > 0
x*(3x - 4) > 0
x1 = 0 ,x2 = 4/3
a = 3 > 0
zatem x ∈ ( - ∞; 0) u (4/3 ; +∞ )
-----------------------------------------------
c)
x² +4x + 4 > 0
(x +2)² > 0
x₀ = -2
a = 1 > 0
x ∈ R \ { -2}
--------------------
d)
- x² - 7x + 8 < 0
Tak jak w a)
x1 = -8 oraz x2 = 1
a = -1 < 0
zatem x ∈ (- ∞; -8) u ( 1 ; + ∞)
--------------------------------------------
e)
3x² - 4x ≤ 0
x1 = 0 , x2 = 4/3
a = 3> 0
zatem ∈ < 0; 4/3 >
-----------------------------------------
f)
x² + 4x + 4 < 0
(x +2)² < 0
x = -2
a = 1 > 0
Brak rozwiązań.
-----------------------------------------
g)
-x² + 4x - 5 ≥ 0
a = -1 < 0
Δ = 16 -4*(-1)*(-5) = 16 - 20 < 0 - brak miejsc zerowych
Brak rozwiązań.
---------------------------------------------------------------------
h)
-x² + 4x - 5 < 0
a = -1 < 0
Δ = -4 <  0
Cały wykres jest pod osią OX
czyli x ∈ ( - ∞; +∞) = R
=======================================================
z.4

a)

f(x ) = - x² - 7x  + 8

< -4 ; 1 >

a = -1 , b = - 7, c = 8

p = -b/(2a) = 7 /(-2) = - 3,5

Δ = b² - 4ac = 49 - 4*(-1)*8 = 49 + 32 = 81

√Δ = 9

q = -Δ/(4a) = - 81/(-4) = 20,25

a > 0  dlatego f rośnir  dla x < p = - 3,5

oraz f maleje dla x > - 3,5

 

zatem największa wartość funkcji  w przedziale < -4; 1>

równa się q = 20,25

=========================================================

oraz najmniejsza warośc funkcji  w tym przedziale równa się

f(1) = - 1² -7*1 + 8 = 0

=========================================================

b)

f(x) = 3x² + 6x - 5

< 0; 3>

a = 3 > 0

p = -6/6 = -1

Δ = 36 - 4*3*(-5) = 36 + 60 = 96

q = - Δ/(4a) = -96/12 = - 8

Dla x < -1  funkcja f maleje, a dla x > -1 funkcja f rośnie, zatem

rośnie w całym przedziale <0; 3>

Najmniejsza wartość funkcji  f w przedziale <0; 3> to

f(0) = 3*0² +6*0 - 5 = - 5,

a największa wartość funkcji w tym przedziale ,to

f(3) = 3*3² +6*3 - 5 = 27 + 18 -5 = 40

=========================================================