Question

1. uzasadnij ze dla kazdego α∈(0°, 90°) prawda jest, ze
(1+sinα)(1/cosα - tgα)=cosα
2.Sposród liczb 1 2 3 4 5 6 losujemy kolejno dwa razy po jednej cyfrze ze zwracaniem. Tworzymy liczbe dwucyfrowa w ten sposób,ze pierwsza z wylosowanych cyfr jest cyfra dziesiatek, a druga cyfra jednosci tej liczby. Oblicz prawdopodobienstwo utworzenia liczby wiekszej od 52.
3. Punkty A=(-4,-1) B=(0,-5) C=(2,1) sa wierzchołkami trójkąta równoramiennego.wyznacz równanie osi symetrii tego trójkąta.

Answer 1

Zad 1.
wiemy z białego wierszyka, że w pierwszej ćwiartce wartości funkcji tryg. są dodatnie... więc się znakami nie będziemy na szczęście przejmować:
(1+sinα)(1/cosα - tgα)=cosα
tgα=sinα/cosα
(1+sinα)(1/cosα - sinα/cosα) = (1+sinα)(1-sinα/cosα) = (1+sinα)*(1-sinα)/cosα = 1-sin²α/cos


z jedynki trygonometrycznej wiemy, że 1-sin²α=cos²α, a więc:
1-sin²α/cosα = cos²α/cosα = cosα
co należało udowodnić

Zad 2.
Nie mamy dużo kombinacji, więc czemu by ich wszystkich nie wypisać?
Może być: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

Widzimy wyraźnie, że kombinacji może być razem 36, a naszych zdarzeń A (gdzie A oznacza liczby od 53 do 66... czyli większe od 52) jest 10

tak więc moc Ω=36, natomiast moc A=10
P(A)= mocA/mocΩ = 10/36 = 0,2(7)

oczywiście można było skorzystać z wariacji z powtórzeniami by obliczyć mocΩ zamiast wypisywać wszystkie kombinacje:
P(A) = 10/6² = 10/36 = 0,2(7)

Zad 3.
osią symetrii trójkąta równoramiennego jest jego wysokość (a raczej prosta na której leży wysokość)... wysokość jest prostopadła do podstawy więc wystarczy wyliczyć prostą podstawy i stworzyć prostą prostopadłą:

rysunek: http://i45.tinypic.com/2yugcbp.png

prosta AB:
y=ax+b

A=(-4,-1) B=(0,-5)

wstawiamy punkty by obliczyć "a" i "b"

-1=-4a+b
-5=0*a b

b=-5

-1=-4a+b
-1=-4a-5
-4a=4 |:(-1)
a=-1

AB: y=-x-5

teraz wystarczy znaleźć równianie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt C=(2,1)

wiemy, że współczynniki "a" prostych prostopadłych zachowują własność a₁×a₂=-1
a wiemy już, że a₁=-1
-a₂=-1
a₂=1

prosta prostopadła ma więc równanie postaci:
y=x+b

teraz podstawiamy punkt C i liczymy "b":
1=2+b
b=-1

prosta prostopadła ma równanie: y=x-1

koniec :)