Question

1.Oblicz a-b, gdy a=sin⁴α- cos⁴α,
b=1-4sin²αcos²α dla α=60°
2.Dane jest równanie sinx=a²+1, z niewiadoma x. Wyznacz wszyst. wartości parametru a , dla których dane równanie nie ma rozwiazań.

Answer 1

Skoro:
a=sin⁴α- cos⁴α
b=1-4sin²α*cos²α

(bo rozumiem, że w drugim przykładzie jest mnożenie)

i mamy obliczyć a-b dla α=60° to:

a-b = sin⁴α- cos⁴α-(1-4sin²α*cos²α)
a-b = sin⁴α- cos⁴α-1+4sin²α*cos²α
zastanówmy się ile to jest sin²α*cos²α... skoro z jedynki trygonometrycznej wiemy, że cos²α=1-sin²α

a-b = sin⁴α- cos⁴α-1+4sin²α*(1-sin²α)
a-b = sin⁴α- cos⁴α-1+4sin²α-4sin⁴α


teraz: cos⁴α to:
cos⁴α=(cos²α)²=(1-sin²α)²=1-2sin²α+sin⁴α

a-b = sin⁴α-(1-2sin²α+sin⁴α)-1+4sin²α-4sin⁴α
a-b = sin⁴α-1+2sin²α-sin⁴α-1+4sin²α-4sin⁴α
a-b = -2+6sin²α-4sin⁴α
a-b = -4sin⁴α+6sin²α-2

zauważmy, że:
sin²α=(sinα)² oraz sin⁴α=(sinα)⁴

a-b = -4(sinα)⁴+6(sinα)²-2

teraz spokojnie podstawiamy i wiemy przecież, że sin60°=√3/2

a-b = -4(sin60°)⁴+6(sin60°)²-2
a-b = -4*(√3/2)⁴+6(√3/2)²-2
a-b = -4*9/16 + 6*3/4 - 2
a-b = -9/4 + 18/4 - 2
a-b = 9/4 - 8/4
a-b = 1/4

Sprawdzaj dokładnie przy przepisywaniu bo zawsze się mogłem gdzieś kopnąć


2)
sinx=a²+1

wiemy, że sinx przyjmuje wartość od -1 do 1 więc po równa się może być co najwyżej liczba w tym zakresie. a² gdzie a∈R może być tylko liczbą dodatnią bądź równą 0 (0²) więc obchodzi nas równanie:

a²+1≤1
a²≤0

jedynym rozwiązaniem tego równania jest a=0... dla wszystkich pozostałych nie ma rozwiązania, a więc:

dla a∈(-∞;0) U (0;+∞) równanie sinx=a²+1 nie ma rozwiązania