Question

Ciągi liczbowe.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an jest równy 2, a suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 57.
a) Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów an.
b) Dla jakiego n liczby: a1 , a3 , an tworzą ciąg geometryczny.

Proszę o dokładne obliczenia.

Answer 1

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an jest równy 2, a suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 57.
a) Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów an.
b) Dla jakiego n liczby: a1 , a3 , an tworzą ciąg geometryczny.


a1=2
a1+a2+a3+a4+a5+a6 = 57

a) 6a1 + 15r= 57
12 + 15r= 57
15r=45
r=3

S20=(2+a20)*20/2
s20=610
b) a1=2
a3=8
z twierdzenia
2an=64
an=62.

Answer 2

Najpierw spróbujemy wyznaczyć r ze wzoru na sumę n-tych wyrazów. Zastosujemy wzór.

Sn=(2a₁+(n-1)r)\2 * n

Zatem podstawiamy do wzoru dane które wiemy

57=(2*2+(6-1)r)\2 * 6
57=(4+5r)*3 Ponieważ szóstka z dwójką nam się skracają przez dwa
57=12+15r
15r=57-12
15r=45
r=3

Skoro mamy już r i pierwszy wyraz, możemy liczyć sumę 20 wyrazów z tego samego wzoru, jaki stosowaliśmy przy wyznaczaniu r.

S20=(2*2+(20-1)3)*3 Podobnie jak w pierwszym przypadku nam się dwójka z szóstką skraca

S20=(4+19*3)*3
S20=61*3
S20=183

Odp. Suma 20 początkowych wyrazów wynosi 183

Skoro mamy wyraz pierwszy, brakuje nam a3 i an. Wobec tego oznaczmy sobie to tak:

a1=a = 2
a3=b
an=c

Wyznaczamy wartość wyrazu trzeciego ze wzoru:

an=a1+(n-1)r

Podstawiamy

a3=2+2*2
a3=6

Teraz aby ustalić wartość trzeciego składnika, czyli an, musimy skorzystać z własności ciągu geometrycznego. Wygląda on następująco:

b²=a*c

zatem podstawiamy

6*6=2*c
36=2*c
c=18

Znamy już wartość wyrazu an, podstawiamy pod wzór, aby sprawdzić, który to jest wyraz ciągu.

an=a1+(n-1)r

18=2+(n-1)*2
18=2+2n-2
2n=18
n=9

Wynika to z tego że jest to dziewiąty wyraz ciągu.