Question

Ciągi liczbowe.

Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 1. Suma początkowych dziesięciu wyrazów tego ciągu jest czterokrotnie większa od sumy początkowych pięciu wyrazów. Sprawdź, czy suma początkowych stu wyrazów tego ciągu jest większa od
10 * 2 do potęgi 10.

Proszę o dokładne obliczenia.

Answer 1

Sprawdzamy czy:
S₁₀₀ > 10*2¹⁰

Dane:

a₁=1
S₁₀ = S₅ * 4

a₁₀=a₁ + 9r
a₅=a₁ + 4r


Ze wzoru na sumę:

S₁₀=1+a₁₀ /2 i razy 10
S₅=1+a₅ /2 i razy 5

Podstawiajac do wczesniejszego zalozenia ze S₁₀ = S₅ * 4 otrzymujemy nastepujaca rownosc:

1+a₁₀ /2 i razy 10 = 1+a₅ /2 i razy 5 i jeszcze razy 4

teraz korzystajac z :

a₁₀=a₁ + 9r
a₅=a₁ + 4r

podstawiamy i otrzymujemy:

1+a₁+9r/2 * 10 = 1+a₁+4r/2 * 4 * 5
(2+9r)*5 = (2+4r)*10
10+45r = 20+40r
r=2

Teraz ze wzoru na sume n pierwszych wyrazow:

Sn = 2*a₁+(n-1)*r /2 * n

S₁₀₀ = 2*1+(100-1)*2/2 * 100

S₁₀₀ = 10 000

Konczac zadanie sprawdzamy czy:

S₁₀₀ > 10*2¹⁰

10*2¹⁰ = 10 * 1024 = 10 240

Czyli : S₁₀₀ < 10*2¹⁰