Question

Cięciwa AB ma taką samą długość jak promień okręgu. Przez punkty A i B poprowadzono styczne do okręgu, przecinające się w punkcie C. Oblicz miary katów trójkąta ABC

Answer 1

AB - cięciwa okręgu
O - środek okręgu
r = |OA| = |OB| - promień okręgu
|AB| = r (z treści zadania), czyli
ΔAOB jest równoramienny a jego kąty wewnętrzne mają po 60°
C - punkt przecięcia się stycznych
α,β,γ - kąty wewnętrzne ΔABC

"Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia o końcu w punkcie styczności", czyli
OA _|_ AC i OB _|_ BC stąd
kąt przy punkcie A i przy punkcie B to kąty półpełne (180°)

<A = 90°(bo OA _|_ AC) + 60° (kąt wewnętrzny ΔAOB) + α (kąt wewnętrzny ABC)
< A = 180°
90° + 60° + α = 180°
150° + α = 180°
α = 180° - 150° = 30°

<B = 90°(bo OB _|_ BC) + 60° (kąt wewnętrzny ΔAOB) + β (kąt wewnętrzny ABC)
< A = 180°
90° + 60° + β = 180°
150° + β = 180°
β = 180° - 150° = 30°

"Suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°"

α + β + γ = 180°
30° + 30° + γ = 180°
60° + γ = 180°
γ = 180°- 60° = 120°

Odp. Kąty wewnętrzne w trójkącie ABC mają miary: 30°, 30°, 120°.