acim
Turunkan satu - satu, untuk y = arctan(a/x) dan y = ln√(x-a)/(x+a) y = arctan(a/x) kedua ruas ditan-kan, get tan(y) = a/x = ax^-1 derive implicitly, sec²(y) dy = -a/x² dx dy/dx = -acos²(y)/x² ... (1) dari persamaan y = arctan(a/x), gambar segitiga siku-siku dengan sudut lancip y, dg menggunakan pythagoras sisi miring segitiga adalh √(x²+a²), shg nilai cos(y) = x/√(x²+a²) dan nilai dari cos²(y) = x²/(x²+a²) akibatnya, persamaan (1) dapat menjadi : dy/dx = -acos²(y)/x² = -a(x²/(x²+a²))/x² = -a/(x²+a²)
bagian kedua, y = ln√(x-a)/(x+a) = ln√(x-a) - ln(x+a) gunakan chain's rule, maka y ' = 1/(2(x-a)) - 1/(2(x+a)) = a/(x² - a²)
jumlahkan hasil kedua turunan di atas dan sederhanakan : a/(x² - a²) - a/(x²+a²) = a (1/(x²-a²) - 1/(x²+a²)) = a ((x²+a²-x²+a²)/(x^4 - a^4) = a (2a²)/(x^4 - a^4) = 2a³/(x^4 - a^4)
y = arctan(a/x)
kedua ruas ditan-kan, get
tan(y) = a/x = ax^-1
derive implicitly,
sec²(y) dy = -a/x² dx
dy/dx = -acos²(y)/x² ... (1)
dari persamaan y = arctan(a/x), gambar segitiga siku-siku dengan sudut lancip y, dg menggunakan pythagoras sisi miring segitiga adalh √(x²+a²), shg nilai cos(y) = x/√(x²+a²) dan nilai dari cos²(y) = x²/(x²+a²)
akibatnya, persamaan (1) dapat menjadi :
dy/dx = -acos²(y)/x² = -a(x²/(x²+a²))/x² = -a/(x²+a²)
bagian kedua,
y = ln√(x-a)/(x+a) = ln√(x-a) - ln(x+a)
gunakan chain's rule, maka
y ' = 1/(2(x-a)) - 1/(2(x+a)) = a/(x² - a²)
jumlahkan hasil kedua turunan di atas dan sederhanakan :
a/(x² - a²) - a/(x²+a²)
= a (1/(x²-a²) - 1/(x²+a²))
= a ((x²+a²-x²+a²)/(x^4 - a^4)
= a (2a²)/(x^4 - a^4)
= 2a³/(x^4 - a^4)
QED