Question

Boki trójkąta a, b i c oraz wysokość h opuszczona na bok a tworzą czterowyrazowy ciąg geometryczny. Wykaż, że ten trójkąt jest prostokątny.

Answer 1

Narysowalismy dowolny trójkąt na rysunku. Z niego wynika, że najktórsza długiość to h, potem c następnie b i na sam koniec a. Mamy więc ciąg:

{h,c,b,a}. 

Ponieważ w ciągu geopmetrycznym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały to zapiszmy to jako równanie:

Pomnóżmy równanie najpierw pprzez h a następnie przez b.

Otrzymalismy równanie:

Pomnóżmy je przez

otrzymaliśmy wzór na pole trójkąta

Skoro więc zgodnie z naszym rysunkiem pole wyraża się jako  to w takim razie aby równość była spełniona (co gwaratnuje nam to że jest to ciąg geometryczny) boki b i c musza być do siebie prostpadłe. Z tego wynika że trójkąt te jest prostokątny.