Question

A)pierwszy wyraz pewnego ciągu geometrycznego jest równy 2 .Suma początkowych ośmiu wyrazów tego ciągu jest pięć razy większa od sumy początkowych 4 wyrazów .Obl 9 wyraz tego ciągu

b)piąty wyraz malejącego ciągu geometrycznego jest odwrotnością wyrazu pierwszego ,a czwarty jest 6 razy mniejszy od sumy wyrazów 2 i 3 .Obl 2 wyraz tego ciągu

Answer 1

A)
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
Sn = a₁ * (1 - q^n) / 1 - q
a₁ = 2
S₈ = 5 * S₄

2 * (1 - q⁸) / 1 - q = 5 * [2 * (1 - q⁴) / 1 - q] /* 1 -q / 2
1 - q⁸ = 5 * (1 - q⁴)
1 - q⁸ = 5 - 5q⁴
1 - q⁸ - 5 + 5q⁴ = 0
- q⁸ + 5q⁴ - 4 = 0

Wprowadzamy zmienną pomocniczą q⁴ = t i otrzymujemy równanie kwadratowe:
-t² + 5t - 4 = 0
Δ = 25 - 16 = 9
√Δ = 3
t₁ = - 5 - 3 / -2 = -8 / -2 = 4
t₂ = - 5 + 3 / -2 = -2 / -2 = 1
t₂ odrzucamy, bo nie byłby spełniony warunek: S₈ = 5 * S₄

czyli t = 4
q⁴ = 4
q⁴ - 4 = 0
(q² - 2)(q² + 2) = 0
q² - 2 = 0 lub q² + 2 = 0
q² - 2 = 0
(q - √2)(q + √2) = 0
(q - √2) = 0 lub q + √2 = 0
q₁ = √2
q₂ = -√2
Znając q obliczymy dziewiąty wyraz ciągu:
a₁ = 2 i q₁ = √2
a₉ = a₁ * q₁⁸
a₉ = 2 * (√2)⁸ = 2 * 16 = 32
a₁ = 2 i q₂ = -√2
a₉ = a₁ * q₁⁸
a₉ = 2 * (-√2)⁸ = 2 * 16 = 32
Odp. Dziewiąty wyraz tego ciągu wynosi 32.

b)piąty wyraz malejącego ciągu geometrycznego jest odwrotnością wyrazu pierwszego ,a czwarty jest 6 razy mniejszy od sumy wyrazów 2 i 3 .Obl 2 wyraz tego ciągu
n-ty wyraz ciągu geometrycznego (an) o ilorazie q określony jest wzorem: an =a₁*q^n-1
a₅ = 1 / a₁
6*a₄ = a₂ + a₃
6*a₁*q³ = a₁*q + a₁*q² /:a₁*q
6q² = 1 + q
6q² - q - 1 = 0
Δ = 1 + 24 = 25
√Δ = 5
q₁ = 1 - 5 / 12 = -4 / 12 = -⅓
q₂ = 1 + 5 / 12 = 6 / 12 = ½

q₁ odrzucamy, bo nie byłby spełniony warunek, że ciąg jest malejący

a₅ = 1 / a₁
a₁ * q⁴ = 1 / a₁ /*a₁
a₁² * q⁴ = 1 /:q⁴
a₁² = 1 / q⁴
a₁ = √1 / q⁴
a₁ = 1 / q²

q = ½ to a₁ = 1 / (½)² = 1 / ¼ = 4 i a₂ = a₁*q = 4*½ = 2

Odp. Drugi wyraz ciągu wynosi 2.