Question

a) Oblicz współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układu wspólrzędnych oraz współrzędne jej wierzchołka

b)Narysuj tę parabolę (mile widziane zdjęcie)
c)określ z wykresu przedziały monotoniczności tej funkcji
d)Podaj postać kanoniczną tej funkcji
e)Określ z wykresu minimum tej funkcji
f)Napisz daną funkcję w postaci iloczynowej

Proszę o rozwiązanie krok po kroku

Answer 1

a) Punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych wyznacza się, rozwiązując równania kwadratowe. Rozwiązania równania kwadratowego dla y = 0 będą miejscami przecięcia z osią OX, natomiast dla x = 0 - z osią OY.

 

Punkty przecięcia z osią OX (miejsca zerowe):

Delta jest dodatnia, zatem miejsca zerowe są dwa:

 

Punkt przecięcia z osią OY:

 

Współrzędne wierzchołka paraboli wyznaczymy po wykonaniu podpunktu d) zadania - z postaci kanonicznej natychmiast rzucają nam się w oczy współrzędne wierzchołka paraboli ;)

 

b) Do szybkiego zobaczenia wykresu funkcji polecam stronkę www.jogle.pl/wykresy

Wystarczy wpisać w odpowiednie pole wzór funkcji, można też dobrać jednostkę tak by było widać jakieś szczególne punkty wykresu (np. wierzchołek paraboli, wszystkie punkty przecięcia z osiami itp.)

Aby zobaczyć Twoją parabolę, wpisz w polu na wzór funkcji to:

0.25x^2-2x-5 lub to: (1/4)x^2-2x-5

 

c) Przedziały monotoniczności można odczytać z rysunku, ale nie koniecznie. Zdecydowanie łatwiej się je podaje, znając współrzędną x-ową wierzchołka paraboli, którą poznamy dopiero po wyprowadzeniu postaci kanonicznej wzoru tej funkcji w następnym podpunkcie - dlatego tam podam przedziały monotoniczności.

 

d) Wzór, pozwalający na przejście z postaci ogólnej do kanonicznej wygląda następująco:

Podstawiamy współczynniki a i b, deltę wyznaczyliśmy już w podpunkcie a) i wynosiła 144, więc nie będziemy się powtarzali i wyprowadzali od nowa ;):

Z postaci kanonicznej odczytujemy, że wierzchołek W paraboli leży w punkcie W(4; -9) (znaleźć wierzchołek paraboli należało w punkcie a), ale z postaci kanonicznej jest znacznie prościej, nie wspominając już o tym, że i tak w niniejszym podpunkcie kazano nam ją wyprowadzić ;)).

 

Przedziały monotoniczności:

Współczynnik a jest dodatni, czyli ramiona skierowane są w górę - wartości funkcji maleją od nieskończoności do współrzędnej x-owej wierzchołka paraboli, a następnie od niego do nieskończoności wzrastają. Podsumowując:

Funkcja jest malejąca dla x∈(-oo; 4>

Funkcja jest rosnąca dla x∈<4; +oo)

 

e) Jeżeli a jest dodatnie - jedynym ekstremum (ściślej - minimum) funkcji jest współrzędna y-kowa wierzchołka paraboli.

Jeżeli a jest ujemne - jedynym ekstremum (ściślej - maksimum) funkcji jest współrzędna y-kowa wierzchołka paraboli.

Widzimy, że a jest dodatnie, więc minimum tej funkcji jest y = -9 dla x = 4.

 

f) Delta jest większa od zera, zatem tę funkcję można przedstawić w postaci iloczynowej:

, gdzie x₁, x₂ są pierwiastkami trójmianu. Pierwiastki trójmianu (miejsca zerowe funkcji) wyprowadziliśmy w podpunkcie a), zatem tutaj po prostu je sobie podstawimy i otrzymamy następująco wyglądającą postać iloczynową: