Question

a) miara kąta utworzonego przez dwa promienie okręgu jest równa 116 stopni. Oblicz miarę kąta, który tworzą styczne poprowadzone przez końce tych promieni
b) miary kątów trójkąta ABC wpisanego w okrąg wynoszą |< A|= 30 stopni |<B| = 70 stopni wyznacz miarę kąta między prostą AB i styczną do okręgu w wierzchołku C trójkąta ABC

Answer 1

a) Styczne są prospodałe do promieni w tych punktach. NAszą figurą jest czworościan, którego kąty znajdują się w środku okręgu (miara = 116), dwa kąty znajdują się na okręgu, w miejscu przecięcia promieni (2·90) i czwarty kąt to ten, którego miary szukamy.
Suma miar kątów czworościanu wynosi 360. Wystarczy odjąć znane nam kąty:
360 -2·90-116=64

b)Przydałby się rysunek, ale niestety nie mam możliwości wstawienia go w tej chwili, ale założę, że potrafisz narysować trójkąt wpisany w okrąg ;-)

Z wierzchołka C prowadzimy promień do śrądka okręgu w punkcie O, oraz jego przedłużenie  opadającą na odcinek AB, w punkcie D.

 

Punkt przecięcia stycznej do okręgu w punkcie C, oraz przedłużenie prostej AB oznaczmy jako punkt E.

SZukamy miar kąta AEC. Kąt A jest podany jako 30, kąt C możemy rozbić na dwa kąty. Jeden to będzie kąt tworzony prez prostą E, oraz promień opadający z punktu C. Ten kąt to kąt prosty (styczna, to prosta, która jest prostopadła do odcinka w danym punkcie).

Kąt ACD wyznaczymy z innej własnośći:

Trójkąty ACO, oraz ABC, to trójkąty oparte na tym samym łuku (AC, więc kąt AOC ma 2 razy mniejszą miarę od kąta ABC, czyli 70*2=140.

Trójkąt AOC jest trójkątem równoramiennym (jego ramiona mają taką samą długość, bo są promieniami okręgu), a w każdym trójkącie równoramiennym, kąty przy podstawie mają taką samą wartość.

Obliczamy kąt ACO

Kąt przy punkcie C obliczamy jako 20+90 = 110 

I teraz obliczamy kąt przy punkcie E = 180-30 (punkt A) - 110 (punkt C) = 180-140 = 40