Question

CIĄGI!!!
Nigdy nie miałam ciągów, więc zadania dla tych którzy już je mieli są zapewne dziecinnie proste. Daje dużo punktów bo chce by było dobrze rozwiązane i bym mogła je zrozumieć.

WYTŁUMACZENIE SKRÓTÓW:
_ indeks dolny
/ kreska ułamkowa
^ potęga
p{...} - te kropeczki to jest wyrażenie pod pierwiastkiem.

1)Napisz cztery początkowe wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym a_n
a) a_n= 3n-2 / 2^n
d) a_n=p{2n^2-n}
f) a_n=2^n+3^n / 4^n

2)Narysuj wykres ciągu:
c)a_n=3n-1

3)Wyznacz trzeci, czwarty, piąty wyraz ciągu określonego wzorem rekurencyjnym.
a) a_1=3 , a_n+1=a_n-2n
b)a_1=1/4 , a_n+1=(a_n)^2 4^n

4)Podaj ogólny wyraz a_n następujących ciągów:
d) 1/2 , 2/5 , 3/10 , 4/17 , 5/26 ,....
e) 1/4 , 1/16 , 1/36 , 1/64 , 1/100, ....
f) 1, 1/9, 1/25 , 1/49 , 1/81, .....



Jeśli ktoś ma zbiór Kłaczkowa do II klasy liceum(czerwono-czary) to to są zadania
7.3 a d f ,
7.14 c ,
7.15 a b
7.1 d e f

Daje najlepszą odpowiedź:)

Answer 1

Zadanie 1
a) a_n = (3n - 2) / 2^n
a₁ = (3*1 - 2) / 2¹ = (3 - 2)/2 = 1/2
a₂ = (3*2 - 2) / 2² = (6 - 2)/4 = 1
a₃ = (3*3 - 2) / 2³ = (9 - 2)/8 = 7/8
a₄ = (3*4 - 2) / 2⁴ = (12 - 2)/16 = 10/16 = 5/8

b) a_n = √(2n² - n)
a₁ = √(2*1² - 1) = √(2 - 1) = 1
a₂ = √(2*2² - 2) = √(8 - 2) = √6
a₃ = √(2*3² - 3) = √(18 - 3) = √15
a₄ = √(2*4² - 4) = √(32 - 4) = √28 = 2√7

c) a_n = (2^n + 3^n) / 4^n
a₁ = (2¹ + 3¹)/4¹ = (2 + 3)/4 = 5/4
a₂ = (2² + 3²)/4² = (4 + 9)/16 = 13/16
a₃ = (2³ + 3³)/4³ = (8 + 27)/64 = 35/64
a₄ = (2⁴ + 3⁴)/4⁴ = (16 + 81)/256 = 97/256

zadanie 2
Rysunek w załączniku. Linia przerywana jest pomocnicza (to wykres funkcji f(n) = 3n - 1). Do wykresu należą tylko zaznaczone punkty, i kolejne nie mieszcząca się na wykresie. Najpierw wyznaczmy wartość dla n = 1, potem dla n = 2 i tak dalej (ogólnie dla liczb naturalnych różnych od 0).

zadanie 3
We wzorach rekurencyjnych, aby wyznaczyć kolejny wyraz ciągu musimy znać poprzedni (czasami przedostatni, ale zawsze jakiś o niższym numerze). Dlatego zanim wyznaczmy a₃, a₄ i a₅ musimy wyznaczyć a₂.

a) a₁ = 3, a_(n + 1) = a_n - 2n
a₃ = a₂ - 2*2 = (a₁ - 2*1) - 2*2 = (3 - 2) - 4 = - 3
a₄ = a₃ - 2*3 = - 3 - 6 = - 9
a₅ = a₄ - 2*4 = - 9 - 8 = - 17

b) a₁ = 1/4 , a_(n + 1) = (a_n)² 4^n
a₃ = (a₂)² 4² = ((a₁)² 4¹)² 4² = (1/16 * 4)² 4² = (1/4)² 4² = 1
a₄ = (a₃)² 4³ = 1² 4³ = 64
a₅ = (a₄)² 4⁴ = 64² 4⁴ = 4096 * 256 = 1048576

zadanie 4
d) 1/2 , 2/5 , 3/10 , 4/17 , 5/26 , ....
Zauważamy, że podane liczby są ilorazami kolejnych liczb naturalnych i ich kwadratów powiększonych o 1:
1/2 = 1/(1² + 1)
2/5 = 2/(2² + 1)
3/10 = 3/(3² + 1)
4/17 = 4/(4² + 1)
1/100 = 5/(5² + 1)
a_n = n/(n² + 1)

e) 1/4 , 1/16 , 1/36 , 1/64 , 1/100, ....
Zauważamy, że podane liczby są kwadratami odwrotności kolejnych liczb naturalnych:
1/4 = (1/2)²
1/16 = (1/4)²
1/36 = (1/6)²
1/64 = (1/8)²
1/100 = (1/10)²
a_n = [1/2n]²

f) 1, 1/9, 1/25 , 1/49 , 1/81, .....
Zauważamy, że podane liczby są kwadratami odwrotności kolejnych nieparzystych liczb naturalnych:
1 = (1/1)²
1/9 = (1/3)²
1/25 = (1/5)²
1/49 = (1/7)²
1/81 = (1/9)²
a_n = [1/(2n - 1)]²

jak masz pytania to pisz na pw