**7.127 Rozwiąż równanie:.... Question from @Undead22

December 2018 1 43 Report

**7.127 Rozwiąż równanie:

${{{{x^x}^{x+1}}^{x+2}}^{...}}^{x+n}=2^{1680}; \ n\in N+$

Paawełek Mamy:
$x^{x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}=2^{1680} \\ \\ (2^{\log_{2}x})^{x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}=2^{1680} \\ 2^{\log_{2} x \cdot x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)}=2^{1680} \\ \\ \log_{2}x \cdot x(x+1)(x+2)...(x+n)=1680 \qquad /:\log_{2} x \\ x(x+1)(x+2)...(x+n)=\frac{1680}{\log_{2} x}$
Teraz jeśli x będzie liczbą wymierną niecałkowitą to $\log_{2}x$ będzie niewymierne, czyli $\frac{1680}{\log_{2}x}$ będzie niewymierne a lewa strona będzie wymierna, czyli nierówna.
Gdyby "x" był niewymierny to iloczyn po lewej stronie nic nie miałby to log_{2} x ponieważ tego nie da się zapisać jako iloczyn kolejnych liczb... (?)
Więc x musi być całkowite, ale nieujemne (dziedzina logarytmu) więc dodatnie.
Po lewej stronie wówczas będzie liczba całkowita, więc po prawej również musi być całkowita.
Stąd $\frac{1680}{\log_{2}x}$ musi należeć do całkowitych.
Rozbijam 1680 na czynniki pierwsze:
1680|2
840|2
420|2
210|2
105|5
21|7
3|3
1
Czyli jedyne dzielniki które są potęgą dwójki to 1, 2, 4, 8 i 16.
więc mamy pięć wariantów:
log_{2} x = 1
wówczas x=2
wtedy:
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n) = 1680/1
dla x=2 mamy:
2*3*4*5*6*...
zauważ że
2*3*4*5*6=720
a 2*3*4*5*6*7=5040
więc od razu odrzucamy
2 wariant:
log_{2} x = 2
wówczas x=4
wtedy:
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n) = 1680 / 2
x(x+1)(x+2)...(x+n) = 840
zauważasz że
4*5*6*7=840
więc x=4 spełnia warunki
3 wariant:
log_{2}x = 4
wówczas x=16
wtedy:
x(x+1)(x+2)...(x+n) = 1680 / 4
x(x+1)(x+2)...(x+n) = 420
zauważasz, że
16*17= 272
i mnożąc przez 18 już ponad 420, więc odrzucasz
4 wariant:
log_{2} x = 8
x= 2^8 = 256
wtedy:
x(x+1)(x+2)...(x+n) = 1680 / 8
x(x+1)(x+2)...(x+n) = 210
logiczne że dla x=256 jest to nieprawda.
5. wariantu nie ma co rozpatrzać bo też logiczne że jest nieprawdziwy (wyszłoby x(x+1)(x+2)...(x+n) = 105 dla x=2^16)

Czyli moim subiektywnym zdaniem stąd tylko x=4..

Dlaczego x nie może być ujemne i całkowite?
wyznaczam parzystą ilość czynników których iloczyn jest blisko 1680:
(-1) * (-2) * (-3) * (-4) * (-5) * (-6) = 720
(-1) * (-2) * ... * (-7) * (-8) > 1680
Zatem dla x=-6 jest to nieprawdziwe
dla x<-8 również.
Dla 0<x<-6 również ponieważ:
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+n)
dla tych liczb będą "potrzebować" jeszcze liczb dodatnich aby powiększyć wykładnik (bo jest mniejszy niż 720) więc będą musiały przejść przez czynnik "0"
czyli otrzymamy liczbę (-x) ^ 0 czyli 1.

2 votes Thanks 1