Question

zad1

trzy rozne liczby calkowite tworza ciag geometryczny. liczby te sa jednoczesnie pierwszym, drugim i dziesiatym wyrazem pewnego ciagu arytmetycznego. wyznacz wskazane liczby, jesli wiadomo ze ich suma jest rowna 365.

odp:

5,40,320

zad2

dany jest ciag wyznacz wszystkie wartosci x∈<0,2π>, dla ktorych ten ciag jest geometryczny.

odp:

x=3/2π lub x=π/6 lub x=5π/6

prosze o bardzo dokladne obliczenia i rozpisywanie z wyjasnieniem

Answer 1

x, x*q , x*q^2   - ciąg geometryczny

oraz

x + x*q + x*q^2 = 365

zatem

x*( 1 + q + q^2 ) = 365 = 5*73

Niech  x = 5

wtedy

1 + q + q^2 = 73

q^2 + q = 72

q* ( q + 1) = 8*9

q = 8

wtedy mamy liczby:

5, 5*8 = 40, 40*8 = 320

Sprawdzam czy to są odpowiednie wyrazy ciągu arytmetycznego.

Mamy

a1 = 5

a2 = 40   , czyli  r = 40 - 5 = 35

zatem

a10 = a1 + 9*r = 5 + 9*35 = 5 + 315 = 320

Jest dobrze.

Odp> Te liczby to: 5, 40,320.

=====================================================

z.3

Aby podane liczby tworzyły ciąg geometryczny musi zachodzić równość:

( 2 sin x + 1)/( sin x + 3/2) = 2 /( 2 sin x  + 1)

zatem mamy

( 2 sin x + 1 )^2 = 2*( sin x  + 3/2)

4 sin^2 x + 4 sin x + 1 = 2 sin x + 3

4 sin ^2 x + 2 sin x - 2  = 0  / : 2

2 sin^2 x + sin x - 1 = 0

-----------------------------

Podstawienie:

y = sin x

Mamy

2 y^2 + y - 1 = 0

--------------------

delta = 1^2 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9

p (delty) = 3

y1 = [ - 1 - 3]/4 = - 1

y2 = [ -1 + 3]/4 = 1/2

czyli

sin x = - 1   lub   sin x = 1/2

czyli

x  = ( 3/2) pi     lub       x = pi/6        lub     x = (5/6) pi

==================================================