60pkt!! studia obliczyc ograniczonosc i monotonicznosc, bardzo dokladne obliczenia.... Question from @Martynanie

December 2018 1 40 Report

60pkt!! studia obliczyc ograniczonosc i monotonicznosc, bardzo dokladne obliczenia

Simon7S7 $\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^{n}=e
$ z definicji, a więc jest ograniczony odgórnie przez e.
Monotoniczność. Wykażemy, że an jest rosnący.
a(n)= $(1+ \frac{1}{n})^{n}=( \frac{n+1}{n})^n$
a(n-1)=podobnie= $( \frac{n}{n-1})^{n-1}$
Czy a(n-1)<a(n) ??
Wszelkie przejścia mają charakter równoważny, więc chwilowo załóżmy, że tak zachodzi.
$( \frac{n}{n-1})^{n-1}<( \frac{n+1}{n})^n \\ 
\frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}}< \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} 
\\n^{2n-1}<(n-1)^{n-1}* (n+1)^{n-1}*(n+1) \\ 
n^{2n-1}<(n^{2}-1)^{n-1}*(n+1) \\ 
(n^{2})^{n-1}*n<(n^{2}-1)^{n-1}*(n+1) \\ \frac{n}{n+1}<( 
\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1} \\ \frac{n+1-1}{n+1}<(1- 
\frac{1}{n^2})^{n-1} \\ (1- \frac{1}{n+1})<(1- \frac{1}{n^2})^{n-1}$
Teraz z nierówności Bernoulliego:
$(1+a)^n \geq 1+na \\ niech a= \frac{-1}{n^2} \\ (1+ \frac{-1}{n^2})^{n-1} \geq 1- \frac{n-1}{n^2} >1- \frac{1}{n+1}$
Ostatnie nierówność jest oczywista, po przemnożeniu mamy $n^2-1<n^2$
Zatem zachodzi
$(1- \frac{1}{n+1})<(1- \frac{1}{n^2})^{n-1}$
Czyli to, co mieliśmy na początku. Ciąg jest więc malejący.

Ok zmieńmy trochę podejście. Załóżmy, że nie wiemy, że a(n) dąży do e. Jak więc z ograniczeniem tego ciągu?? Wiemy już, że a(n) jest rosnący, czyli pierwszy wyraz jest najmniejszy - stanowi on ograniczenie dolne. Wiemy również, że a(n)<b(n) (oczywiste). Stąd mamy ciąg nierówności:
$2=a(1) \leq a(n) \leq b(n) \leq b(1)=4$
Jedynie trzeba jeszcze udowodnić, że b(n) jest ściśle malejący, co robimy analogicznie jak we wcześniejszym dowodzie monotoniczności (przejścia są dokładnie te same, tylko nierówność jest w drugą stronę). Otrzymujemy więc, że a(n) ma ograniczenie górne. Jakie? np. 4.
Czy b(n-1)>b(n) ??
Lecimy:
$( \frac{n}{n-1})^{n}>( \frac{n+1}{n})^{n+1} \\ \frac{n^n}{(n-1)^n}> \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \\n^{2n+1}>(n-1)^{n}* (n+1)^{n}*(n+1) \\ (n^{2})^{n}*n>(n^{2}-1)^{n}*(n+1) \\ \frac{n+1}{n}<( \frac{n^2}{n^2-1})^{n}$

Znowu Bernoullie:
$L=( \frac{n^2}{n^2-1})^{n}=(1+ \frac{1}{n^2-1})^n>1+ \frac{n}{n^2-1}>1+ \frac{1}{n}$
ostatnia nierówność jest ok, bo $n^2>n^2-1$
Czyli wykazaliśmy, że b(n) jest ściśle malejący.

$\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^{n+1}=\lim_{n \to \infty} ((1+ \frac{1}{n} )^{n})^{ \frac{n+1}{n} }=e^{1}=e$
Podobnie jest więc ograniczony odgórnie przez e.

1 votes Thanks 1