Question

DAM NAJ! Wyznbacz wzór fnkcji kwadratowej w postaci ogolnej wiedząż ze zbiorem wartości tje funkcvji jest przedział (- nieskonczonośc,4> a dla argumtnów 0 oraz 6
funkcja przyjmuje wartosc -5. wynik ma wyjsc y=2/5(x+1) do kwadratu+3

Answer 1

Wykresem jest parabola natomiast punkt w którym występuje ekstremum lokalne ma współrzędne (x,4) i jest to maksimum bo zbf ∈ (-nieskończoności , 4 >. Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół i a<0

f(x) = ax² + bx + c
1.
f(0) = -5
0 + 0 + c = -5
c=-5
2
f(6) = -5
36a + 6b -5 = -5
36a + 6b =0
36a = -6b /:36
a = -1/6 b
3.
-Δ/4a = 4 /*4a
-Δ = 16a
-(b² - 4ac ) = 16a
-(b² -4*(-5) a)= 16a
-b²  - 20a = 16 a
-b² = 36a

z tych 3 warunków tworzę układ równań
{c =-5
{ a = -1/6 b
{ -b² = 36a

b² = 36 (-1/6) b
-b² = -6b
-b² + 6b = 0
-b(b - 6) = 0
b = 0 v b = 6

a = -1/6 b
a = -1/6 * 0 v a = -1/6 * 6
a = 0 odpada v a=-1
 szukana funkcja ma postać
f(x) = -x² + 6x - 5

Answer 2

Wykresem funkcji kwadratowej o postaci ogólnej:
f(x) = ax² + bx + c
jest parabola. Zbiór wartości funkcji Y = (-∞; 4>
W naszym przykładzie istnieje wartość największa funkcji: 4, tzn. że jej maksimum wynosi 4, w którym to punkcie znajduje się wierzchołek paraboli. Zatem na pewno a < 0 - inaczej niż podałeś w odpowiedzi. Ponieważ parabola ma oś symetrii równoległą do osi Y i przechodzącą przez jej wierzchołek, to funkcja ma takie same wartości dla argumentów (czyli wartości x) symetrycznie położonych względem osi paraboli i tym samym argument wierzchołka jest ich średnią arytmetyczną. W naszym przypadku dla x₁ = 0 oraz x₂ = 6 funkcja f(x₁) = f(x₂) = -5, ale też f(x₀) = f((x₁+x₂)/2) = 4, gdzie x₀ jest współrzędną wierzchołka paraboli, czyli argumentem funkcji, dla której ta osiąga maksimum.
x₀ = (x₁+x₂)/2 = (0 + 6) / 2 = 3.
Zatem nasza funkcja przechodzi przez punkty:
(0; -5), (3; 4) oraz (6; -5), czyli spełnia ogólne równanie funkcji. Po podstawieniu współrzędnych wyliczymy współczynniki a, b oraz c:

Sprawdzenie:
f(0) = -5,  f(6) = -6² + 6 * 6 - 5 = -5,  f(3) = -3² + 6 * 3 - 5 = 4.
Funkcję można doprowadzić także do postaci kanonicznej (co nie jest treścią zadania), dzięki czemu łatwo potwierdzimy, że rzeczywiście jej maksimum wynosi 4 w punkcie x₀ = 3:


Odp. f(x) = -x² + 6x - 5