Question

8. dany jest ciag an=|n-2|+|n-10|. sprawdz ktore wyrazy tego ciagu sa wieksze od 8.

odp:n∈{1,11,12,13,14,,...}

9. dany jest ostroslup prawidlowy szesciokatny. krawedz boczna ostroslupa jest dwa razy dluzsza od krawedzi jego podstawy. wyznacz cosinus kata miedzy sasiednimi scianami bocznymi tego ostroslupa. rysunek.
odp: cos=-3/5

Answer 1

z.8

 

an = I n - 2 I + I n - 10 I

an > 8

Mamy

a1 = I -1 I + I - 9 I = 1 + 9 = 10 > 8

a2 = 0 + I - 8 I = 0 + 8 = 8

a3 = 1 + I - 7 I = 1 + 7 = 8

a4 = 2 + I - 6 I = 2 + 6 = 8

a5 = 3 + I - 5 I = 3 + 5 = 8

a6 = 4 + I - 4 I = 4 + 4 = 8

a7 = 5 + I - 3 I = 5 + 3 = 8

a8 = 6 + I - 2 I = 6 + 2 = 8

a9 = 7 + I - 1 I = 7 + 1 = 8

a10 = 8 + 0   =  8

Dla n > 10  mamy  I n - 2 I = n - 2    i     I n - 10 I = n - 10

czyli

an = n - 2 + n - 10 = 2n - 12

Dla n > 10  mamy  an > 2*10 - 12 = 20 - 12 = 8

Odp. a1 > 8  i   an > 8   dla n > 10

czyli a1, a11,a12,a13,a14, ...

=================================

z.9

Mamy  ostrosłup ABCDEFW , gdzie ABCDEF - sześciokąt foremny , a  W - wierzchołek

tego ostrosłupa.

Weżmy sobie dwie sąsiednie ściany ostrosłupa: ABW i BCW o współnej krawędzi BW.

Na krawędzi BW wybieramy taki punkt K , by trójkąty: ABK i BCK były prostokątne.

Mamy

I AB I = I BC I = a

Niech

I BK I = x   oraz    I AK I = I CK I = y

Mamy

I AW I = I BW I = I CW I = 2a

oraz I KW I = 2a - x

W trójkącie prostokątnym  BCK mamy

x^2 + y^2 = a^2

W trójkącie prostokątnym  CKW mamy

(2a - x)^2 + y^2 = (2a)^2

zatem

4 a^2 - 4a x + x^2 = y^2 = 4 a^2

Po podstawieniu  a^2    za     x^2 + y^2    otrzymamy

- 4 a x + a^2 = 0

4a x = a^2

x = a/4

======

y^2 = a^2 - x^2 = a^2 - (a/4)^2 = a^2 - a^2/16 = (15/16) a^2

y^2 = (15/16) a^2

====================

Rozpatruję  teraz trójkąt ABC

Obliczam długość odcinka  AC

Niech   z = I AC I

Mamy

z^2 + a^2 = (2a)^2

z^2 = 4 a^2 - a^2 = 3 a^2

========================

Rozpatruję teraz trójkąt AKC

alfa - miara kąta AKC

Z tw. cosinusów mamy:

z^2 = y^2 + y^2 - 2 y*y * cos alfa

czyli

z^2 = 2 y^2 - 2 y^2 * cos alfa

Po podstawieniu za   z^2  i    y^2  mamy

3 a^2 = 2*(15/16) a^2 - 2*(15/16) a^2 * cos alfa  / : a^2

3 =15/8 - (15/8) * cos alfa

(15/8) cos alfa = 15/8 - 3

(15/8) cos alfa = 15/8 - 24/8 = - 9/8

cos alfa = ( -9/8) *(8/15) = - 9/15 = - 3/5

 

Odp. cos alfa = - 3/5

==========================