Question

ze zbioru liczb Z={1,2,3,...,41} wylosowano trzy liczby bez zwracania. oblicz prawdopodobienstwo ze suma wylosowanych liczb jest liczba parzysta.

odp:
267/533
bardzo dokladne obliczenia + wyjasnienie

Answer 1

wybieramy 3 liczby spośród 41 liczb

 

n=41

k=3

korzystasz z wariacji bez powtórzeń:

V (k nad n)=n !/(n-k)!=

41!/(41-3)!=39×40×41=63 960

ale suma wylosowanych ma być parzysta, więc:

suma 3 liczb jest parzysta, gdy wszystkie 3 liczby są parzyste, lub , gdy jedna jest parzysta i dwie są nieparzyste

 

w zbiorze liczb od 1 do 41 jest 21 liczb nieparzystych i 20 parzystych

 

więc możesz wybrać 3-elementowy ciąg liczb parzystych i możesz to zrobić na 20 sposobów

lub możesz wybrać ciąg dwuelementowy liczb nieparzystych i możesz pierwszą liczbę wybrać na 21, a drugą na 20 sposobów, i zgodnie z zasadą mnożenia możesz to zrobić na 21×20, czyli na 420 sposobów

pierwsza liczba może być liczbą parzystą i możesz ją wybrać na 20 sposobów, druga też może być parzysta i możesz ją wybrać na 19 sposobów [ jedna już jest zajęta] trzecią liczbę możesz wybrać na 18 sposobów, czyli : 20×19×18=6840sposobów

 

teraz opcja z dwiema liczbami nieparzystymi i jedną parzystą:

pierwsza liczba może być parzysta i wybierzesz ją na 20 sposobów, druga musi być nieparzysta i wybierzesz ją na 21 , a trzecia też nieparzysta i wybierzesz ją na 20 sposobów, czyli; 20×21×20=8400

 

teraz pierwsza może być nieparzysta i jest wybór z 21 liczb, druga też nieparzysta i wybór z 20 liczb, trzecia parzysta i wybór z 20 liczb, czyli ;21×20×20=8400

 

teraz : pierwsza nieparzysta, na 21 sposobów, druga parzysta na 20 sposobów i trzecia nieparzysta na 20 sposobów,czyli; 21×20×20=8400

 

razem;n(A)= 6840+8400+8400+8400=32 040 opcji

 

P(A)=32040/63960=267/533