5.107 Wykaż, że liczba: a) ∛7 jest liczba niewymierną.
Dla naprowadzenia: zadanie z tematu "pierwiastek wielomianu".
wik8947201
Dowod nie wprost. Zalozmy, ze nieskracalny ulamek p/q=∛7 p³=7q³ Jezeli p jest parzyste, to q takze musi byc parzyste - sprzecznosc. Jezeli p jest nieparzyste, to w rozkladzie na czynniki pierwsze liczby p ma byc liczba podzielna przez 7, czyli p³ ma byc podzielne przez 7. Niech p=7k (7k)³=7q³ 7²k=q³ Wynika z tego, ze p i q maja byc podzielne przez 7 - sprzecznosc, bo p i q maja byc liczbami wzglednie pierwszymi.
Zalozmy, ze nieskracalny ulamek p/q=∛7
p³=7q³
Jezeli p jest parzyste, to q takze musi byc parzyste - sprzecznosc.
Jezeli p jest nieparzyste, to w rozkladzie na czynniki pierwsze liczby p ma byc liczba podzielna przez 7, czyli p³ ma byc podzielne przez 7.
Niech p=7k
(7k)³=7q³
7²k=q³
Wynika z tego, ze p i q maja byc podzielne przez 7 - sprzecznosc, bo p i q maja byc liczbami wzglednie pierwszymi.