Question

w trojkacie ABC dane sa: |AC|=6, |BC|=4. |∢ACB|=120°. wyznacz dlugosci odcinkow, na jakie zostal podzielony najdluzszy bok przez dwusieczna przeciwleglego kata. wyznacz dlugosc fragmentu dwusiecznej danego kata zawartej w opisanym trojkacie.

odp: |CD|=12/5 (wyznaczona dlugosc fragmentu dwusiecznej zawartej w opisanym trojkacie) bardzo dokladne obliczenia + rysune

Answer 1

Niech ABC będzie danym trójkątem.

Mamy

I AC I = 6,  I BC I = 4,  I < ACB I = 120 st

Niech D będzie punktem boku AB takim, że odcinek CD leży na dwuciecznej kąta ACB.

Niech  a = I AD I, b = I BD I, x = I CD I

Z tw. o dwusiecznej kąta  mamy

I AD I / I AC I = I BD I / I BC I

Po podstawieniu mamy

a/6 = b/4

4a = 6 b

a = 1,5 b

========

zatem

I AB I = a + b = 1,5 b + b = 2,5 b

================================

Z tw. cosinusów mamy:

1)   a^2 = 6^2 + x^2 - 2*6*x * cos 60 st = 36 + x^2  - 6 x

2)   b^2 = 4^2 + x^2 - 2*4*x *cos 60 st = 16 + x^2  - 4 x

3)   ( a + b)^2 = ( 2,5 b)^2 = 6^2 + 4^2 - 2*6*4*cos 120 st = 36 + 16 - 48*( - sin 30 st)

6,25 b^2 = 52 + 24 = 76

zatem

b^2 = 12,16 = 1216/100 = 304/25 = ( 16*19)/25

więc

b = (4/5) p(19)

================

a = 1,5 b = ( 3/2)*(4/5) p(19) = (12/10) p(19) = (6/5) p(19)

=======================================================

Wstawiamy do 2)  304/25 za  b^2 :

304/25 = 16 + x^2 - 4 x   / *25

304 = 400 + 25 x^2 - 100 x

25 x^2 - 100x + 96 = 0

----------------------------

delta  = (-100)^2 - 4*25*96 = 10 000 - 9 600 = 400

p (delty) = p(400) = 20

x = [100 - 20]/50 = 80/50 = 8/5

lub

x = [ 100 + 20] /50 = 120/50 = 12/5

Sprawdzamy, które x  spełnia 1 ) równanie:

a^2 = 36 + x^2 - 6x

1)   a = (6/5) p(19) =1,2  p(19)   i    x = 8/5 = 1,6

Mamy

1,44*19 = 36 + 1,6^2 - 6*1,6

27,36 = 36 + 2,56 - 9,6

27,36 = 38,56 - 9,6 = 28,96  - sprzeczność

2) a = 1,2 p(19)    i   x =  12/5 = 2,4

Mamy

1,44* 19 = 36 + 2,4^2 - 6*2,4

27,36 = 36 + 5,76 - 14,4 = 41,76 -14,4 = 27,36   TAK

zatem

x = 12/5 = 2,4

================

Odp. 

I CD I = 12/5  oraz  I AD I = 1,2 p(19) ; b = 0,8 p(19)

======================================================