wykaz zea) liczba postaci n⁴/4+n³/2+n²/4 gdny n∈N jest kwadratem liczy naturalnejb) kwadrat kazdej l.... Question from @daudusia

October 2018 1 17 Report

wykaz ze

a) liczba postaci n⁴/4+n³/2+n²/4 gdny n∈N jest kwadratem liczy naturalnej

b) kwadrat kazdej liczy naturalnej jest postaci 3k albo 3k+1 gdy k∈C

platon1984

a) $\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{2}=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=\frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}\\ \frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

n(n+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb, więc którać musi być parzysta i liczba n(n+1) jest podzielna przez 2, zatem n(n+1)/2 jest liczbą naturalną

b) dla liczb podzielnych przez 3 możemy je zapisać jako:

$n=3p\\ n^2=9p^2=3\cdot 3p^2=3k$

gdzie:

$3p^2=k$

i k jest niewątpliwie liczbą całkowitą, a nawet naturalną

dla wszystkich innych liczb tj. niepodzielnych przez 3:

- liczby których reszcza z dzielenia przez 3 wynosi 1 (np. 1,4,7...)

$n=3p+1\\ n^2=9p^2+6p+1=3p(3p+2)+1=3k+1$

gdzie: k=p(3p+2) i też jest całkowite

lub, dla liczb których reszta z dzielenie przez 3 wynosi 2 np. 2,5,8...

$n=3p+2\\ n^2=9p^2+12p+4=9p^2+12p+3+1=3(3p^2+4p+1)+1=3k+1$

gdzie:

$3p^2+4p+1=k$

oczywiście nie dla każdego k istnieje taka liczba naturalna n, że jej kwadrat to 3k lub 3k+1

domyśliłem się, że k należy do liczb całkowitych, a nie zespolonych, jak to wynika z treści zadania (liczby całkowite to Z)

pozdrawiam

---------------

"non enim possumus quae vidimus et audivimus non loqui

1 votes Thanks 0