Question

zbadaj przedziały wklęslości i wypuklości funkcji f(x)=1/5x^5+2/3x^3+x

Answer 1

f(x) = 1/5x⁵ + 2/3x³ + x

 

f ' (x) = 1/5 * 5x^(5 - 1) + 2/3 * 3x^(3 - 1) + 1

f ' (x) =  x⁴ + 2x² + 1     -------   pierwsza pochodna

f " (x) =  4x^(4 - 1) + 2 * 2x^(2 - 1)

f " (x) = 4x³ + 4x   --------   druga pochodna

 

f"(x) = 0  ⇔  4x³ + 4x = 0
                      4x ( x² + 1 ) =0
                       4x = 0 ∨ x² + 1 = 0

                         x = 0  ∨  Δ = - 4 < 0   czyli ten trójmain nie ma piewiastków

Druga pochodna zeruje się zatem dla x = 0

f"(x) > 0  ⇔ 4x³ + 4x > 0
                      4x ( x² + 1 ) > 0
                                 Δ = - 4 < 0   dla dowolnego x wartość zawsze bedzie dodatnia

                       4x > 0

                         x > 0

f"(x) > 0  ⇔ x ∈ (0, +oo)   --------  funkcja wypukla

f"(x) < 0  ⇔ 4x³ + 4x < 0
                      4x ( x² + 1 ) < 0
                                 Δ = - 4 < 0   dla dowolnego x wartość zawsze bedzie dodatnia

                       4x < 0

                         x < 0

f"(x) < 0  ⇔ x ∈ (-oo, 0)        -----  funkcja wklęsła