Question

-3n+15

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an= ______

n+1

a) zbadaj monotoniczność ciągu

b) wyznacz wszystkie dodatnie wyrazy tego ciągu

PS. Przy obliczeniach bardzo proszę o wyjaśnienia

Answer 1

a)

an=(-3n+15)/(n+1)

 

Wyznaczamy an+1:

 

an+1=(-3(n+1)+15)/(n+1+1)=

an+1=(-3n-3+15)/(n+2)=

an+1=(-3n+12)/(n+2)

 

Odejmujemy an od an+1:

 

(-3n+12)/(n+2)-(-3n+15)/(n+1)=

(-3n+12)(n+1)/(n+2)(n+1)-(-3n+15)(n+2)/(n+2)(n+1)=

((-3n+12)(n+1)-(-3n+15)(n+2))/(n+2)(n+1)

(-3n²-3n+12n+12-(-3n²-6n+15n+30))/(n²+n+2n+2)=

(-3n²+9n+12+3n²+6n-15n-30)/(n²+3n+2)=

-18/(n²+3n+2)<0 a więc ciąg jest malejący

 

b)

(-3n+15)/(n+1)>0 |*(n+1)           [można by założyć że n≠-1 ale i tak wiadomo że n nie może być nigdy mniejsze od 1]

-3n+15>0

-3n>-15

n<5

 

Dodatnie wyrazy tego ciągu to: a₁, a₂, a₃, a₄