Question

34

trojkat abc jest wpisany w okrag. stycznedo tego okregu w punktach A, B i C przecinaja sie w punktach A1, B1, C1 wyznaczajac trojkat A1B1C1. oblicz miary katow trojkata A1B1C1, jesli trojkat ABC ma katy o miarach 50,60,70.

dokladne obliczenia + rysunek.

odp: 80,40,60

Answer 1

α=50°

β=60°

γ=70°

Czerwone linie - promienie okręgu

S - środek okręgu (czerwona kropka)

Kąt pomiędy promieniem a styczną do okręgu jest kątem prostym [nie jest zaznaczone na rysunku].

Promienie dzielą trójkąt na trzy trójkąty równoramienne:

- trójkąt ASB - o kątach: α₁, δ₁, a₁ (=2α₁+δ₁)

- trójkąt BSC - o kątach: β₁, δ₂, β₁ (=2β₁+δ₂)

- trójkąt ASC - o kątach: γ₁, δ₃, γ₁ (=2γ₁+δ₃)

[Dane punkt S, jak i kąty δ₁, δ₂, δ₃ nie zostały naniesione na rysunek]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Miary kątów α₁, β₁, γ₁:

{α₁+β₁=β

{β₁+γ₁=γ

{α₁+γ₁=α

---

{α₁+β₁=60°

{β₁+γ₁=70°

{α₁+γ₁=50°

---

{α₁=60°-β₁

{γ₁=70°-β₁

{60°-β₁+70°-β₁=50

---

{α₁=60°-β₁

{γ₁=70°-β₁

{2β₁=80

---

{α₁=60°-β₁

{γ₁=70°-β₁

{β₁=40°

---

{α₁=20°

{γ₁=30°

{β₁=40°

------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Miary kątów δ₁, δ₂, δ₃:

180°=2α₁+δ₁ 

δ₁=180°-2α₁

δ₁=180°-40°

δ₁=140°

 

180°=2β₁+δ₂

δ₂=180°-2β₁

δ₂=180°-80°

δ₂=100°

 

180°=2γ₁+δ₃

δ₃=180°-2γ₁

δ₃=180°-60°

δ₃=120°

------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Miary kątów α₂, β₂, γ₂  [szukanych w zadaniu]:

-- α₂ - czworokąt BSCA₁:

360°=δ₂+2*90°+α₂

α₂=360-(δ₂+180°)

α₂=360-(100°+180°)

α₂=360-280°

α₂=80°

-- β₂ - czworokąt ASCB₁:

360°=δ₃+2*90°+β₂

β₂=360°-(δ₃+180°)

β₂=360°-(120°+180°)

β₂=360°-300°

β₂=60°

-- γ₂ - czworokąt ASBC₁:

360°=δ₁+2*90°+γ₂

γ₂=360°-(δ₁+180°)

γ₂=360°-(140°+180°)

γ₂=360°-320°

γ₂=40°