Question

33

Punkty O-początek układu współrzędnych, A-punkt przecięcia prostych y=2x-8 i x+y-1=0 i P-środek okręgu o równaniu x²+y²-2x-6y+9=0 są wierzchołkami trójkąta AOP. Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzcholka O.

dokladne obliczenia+rysunek.

odp: √17 przez 2

Answer 1

Środkowa - linia łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

---------------------------------------------------------------

1. Współrzędne punktu A:

{y=2x-8

{x+y-1=0

---

{y=2x-8

{x+2x-8-1=0

---

{y=2x-8

{3x=9

---

{y=2x-8

{x=3

---

{y=6-8

{x=3

---

{y=-2

{x=3

A(x, y)=A(3, -2)

---------------------------------------------------------------

2. Współrzędne punktu P (środek okręgu):

Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r>0:

(x-a)²+(y-b)²=r²

lub

x²+y²-2ax-2by+c=0

gdzie c=a²+b²-r² oraz a²+b²-c>0.

-----------------------------------------

x²+y²-2x-6y+9=0

-2ax=-2x   |:(-2x)

a=1

-2by=-6y   |:(-2y)

y=3

P(a, b)=P(1, 3)

---------------------------------------------------------------

3. Środek boku AP:

Środek odcinka

 

-----------------------------------------

S=[(3+1)/2; (-2+3)/2]

S=(2, 1/2)

---------------------------------------------------------------

4. Długość środkowej - długość odcinka OS:

Odległość punktu A(x, y) od początku okładu współrzędnych:

-----------------------------------------

|OS|=√[2² + (1/2)²]

|OS|=√[4 + 1/4]

|OS|=√[17/4]

|OS|=√17/2

[Tylko licznik pod znakiem pierwiastka]