Błagam to bardzo ważne! Zadania z CIĄGÓW1.Sprawdź czy ciąg jest arytmetyczny i określ jego monotonic.... Question from @wruu

wruu @wruu

October 2018 1 32 Report

Błagam to bardzo ważne! Zadania z CIĄGÓW

1.Sprawdź czy ciąg jest arytmetyczny i określ jego monotoniczność

a) an= 2-3n/5

b) an= 3n-5/3

2.Wyznacz ciąg arytmetyczny (an) w którym

a) a7= -3, a9=13

b) a5=-5, a8=16

3.Oblicz wyrazy a1,a13,a101 ciągu arytmetycznego (an) w którym

a) a5=-3 i r=2

b) a8=33 i r=-2

oraz oblicz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu

4. Oblicz sumę wszytskich liczb dwucyfrowych które przy dzieleniu:

a) przez 4 dają resztę 3

b) przez 7 dają resztę 2

Roma

Zad. 1

Aby sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny oraz aby okreslić jego monotoniczność, należy sprawdzić różnicę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu.

Jeśli różnica jest stała to zgodnie z definicją taki ciąg jest arytmetyczny. Ponadto, jeśli ta róznica jest jest wieksza od zera to ciąg jest rosnący, a jeśli mniejsza od zera to ciąg jest malejący, natomiast jeśli nie można określić znaku różnicy, to ciąg nie jest monotoniczny.

$a_n= \frac{2-3n}{5}$

$a_{n+1}= \frac{2-3 \cdot (n+1)}{5} = \frac{2-3n-3}{5} = \frac{-3n-1}{5}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{-3n-1}{5} - \frac{2-3n}{5} = \frac{-3n-1 -(2-3n)}{5} = \frac{-3n-1 -2+3n}{5} =$

$= \frac{-3}{5} = - \frac{3}{5} < 0$

Wartość różnicy jest stała, czyli różnica kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama, zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Ponadto, ta różnica jest mniejsza od zera, czyli ciąg (an) jest malejący.

$a_n= \frac{3n-5}{3}$

$a_{n+1}= \frac{3 \cdot (n+ 1)-5}{3} = \frac{3n+ 3-5}{3} = \frac{3n- 2}{3}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{3n- 2}{3} - \frac{3n-5}{3} = \frac{3n- 2 - (3n - 5)}{3} = \frac{3n- 2 - 3n + 5}{3} =$

$= \frac{3}{3} = 1 > 0$

Wartość różnicy jest stała, czyli różnica kolejnych dwóch wyrazów jest taka sama, zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Ponadto, ta różnica jest wieksza od zera, czyli ciąg (an) jest rosnący.

Zad. 2

Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego n ∈ N+ zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

$a_7= -3, \ a_9=13$

$a_7 = a_1 + (7 - 1) \cdot r = a_1 + 6r$

$a_1 + 6r = - 3$

$a_9 = a_1 + (9 - 1) \cdot r = a_1 + 8r$

$a_1 + 8r = 13$

$\left \{ {{a_1 + 6r = - 3 \ / \cdot (- 1)} \atop {a_1 + 8r = 13}} \right$

$\left \{ {{- a_1 - 6r = 3} \atop {a_1 + 8r = 13}} \right$

____________________________

$2r = 16 \ / : 2$

$r = 8$

$a_1 + 6r = - 3$

$a_1 + 6 \cdot 8 = - 3$

$a_1 + 48 = - 3$

$a_1 = - 3-48$

$a_1 =-51$

$\left \{ {{a_1 = - 51} \atop {r = 8}} \right$

Zatem:

$a_n = - 51 + (n - 1) \cdot 8 = - 51 + 8n - 8 = 8n - 59$

$a_5= -5, \ a_9 = 16$

$a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot r = a_1 + 4r$

$a_1 + 4r = - 5$

$a_8 = a_1 + (8 - 1) \cdot r = a_1 + 7r$

$a_1 + 7r = 16$

$\left \{ {{a_1 + 4r = - 5 \ / \cdot (- 1)} \atop {a_1 + 7r = 16}} \right$

$\left \{ {{- a_1 - 4r = 5} \atop {a_1 + 7r = 16}} \right$

____________________________

$3r = 21 \ / : 3$

$r = 7$

$a_1 + 4r = - 5$

$a_1 + 4 \cdot 7 = - 5$

$a_1 + 28 = - 5$

$a_1 = - 5-28$

$a_1 =-33$

$\left \{ {{a_1 = - 33} \atop {r = 7}} \right$

Zatem:

$a_n = - 33 + (n - 1) \cdot 7 = - 33 + 7n - 7 = 7n - 40$

Zad 3.

Jeżeli (an) jest ciągiem arytmetycznym, a r różnicą ciągu arytmetycznego, to dla każdego n ∈ N+ zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Suma n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

$a_5= -3, \ r = 2$

$a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot 2 = a_1 + 4 \cdot 2 = a_1 + 8$

$a_1 + 8 = - 3$

$a_1 = - 3- 8$

$a_1 = - 11$

$a_{13} = - 11 + (13 - 1) \cdot 2 = - 11 + 12 \cdot 2 = - 11 + 24 = 13$

$a_{101} = - 11 + (101 - 1) \cdot 2 = - 11 + 100 \cdot 2 = - 11 + 200 = 189$

$a_{100} =a_{101} - r = 189 - 2 = 187$

$S_{100} = \frac{(-11 + 187) \cdot 100}{2} = 176 \cdot 50 = 8800$

$a_8 = 33, \ r = -2$

$a_8 = a_1 + (8 - 1) \cdot (-2) = a_1 + 7 \cdot (- 2) = a_1 - 14$

$a_1 - 14 = 33$

$a_1 = 33 + 14$

$a_1 = 47$

$a_{13} = 47 + (13 - 1) \cdot (- 2) = 47 + 12 \cdot (- 2) = 47 - 24 = 23$

$a_{101} = 47 + (101 - 1) \cdot (- 2) = 47 + 100 \cdot (- 2) = 47 - 200 = -153$

$a_{100} =a_{101} - r = -153 - (-2) = - 153 + 2 = - 151$

$S_{100} = \frac{(47 - 151) \cdot 100}{2} = - 104 \cdot 50 = - 5200$

Zad. 4

Liczby dwucyfrowe, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3 tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r = 4.

Najmniejszą liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3 jest liczba 11 (11 : 4 = 2 r. 3), natomiast największa to 99 (99 : 4 = 24 r. 3).

Zatem:

$a_1 = 11$

$a_n = 99$

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Stąd:

$11 + (n - 1) \cdot 4 = 99$

$(n - 1) \cdot 4 = 99 - 11$

$4n - 4 = 88$

$4n = 88 + 4$

$4n = 92 \ / : 4$

$n = 23$

Zatem suma wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3 wynosi:

$S_{23} = \frac{(11 + 99) \cdot 23}{2} = \frac{110 \cdot 23}{2} = 55 \cdot 23 = 1265$

Liczby dwucyfrowe, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 2 tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r = 7.

Najmniejszą liczbą dwucyfrową, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2 jest liczba 16 (16 : 7 = 2 r. 2), natomiast największa to 93 (93 : 7 = 13 r. 2).

Zatem:

$a_1 = 16$