Question

32

w trojkat rownoramienny o dlugosci podstawy a=4 cm i dlugosci ramienia b=6cm wpisano okrag. oblicz odleglosc okregu od wierzcholka kata miedzy ramionami trojkata, czyli dlugosc odcinka oznaczonego na rysunku litera x.

33

wyznacz wspolrzedne punktu nalezacego do prostej o rownaniu y=x i rownoodleglego od wierzcholkow parabol bedacych wykresami funkcji f(x)=-(x+2)(x+4) i g(x)=(x-4)^2.

do obu zadan bardzo dokladne obliczenia (wzory)

Answer 1

1.

a=4 cm

b=6 cm

x=?

 

x=h-2r

h,r=?

h=√(b²-(a/2)²)

h=√(6²-(4/2)²)

h=√(36-4)

h=√32

h=4√2 cm

 

r=2P/(a+b+c)

P=ah/2

c=b

P=4*4√2/2

P=8√2 cm²

r=2*8√2/(4+6+6)

r=16√2/16

r=√2 cm

 

x=4√2-2√2

x=2√2 cm

 

2.

liczymy współrzędne wierzchołków parabol

 

I.

f(x)=-(x+2)(x+4)

f(x)=-(x²+4x+2x+8)

f(x)=-x²-6x-8

 

p=-b/2a, q=-Δ/4a

p₁=-(-6)/(2*(-1))=6/(-2)=-3

q₁=-((-6)²-4*(-1)*(-8))/(4*(-1))=-(36-32)/(-4)=1

W₁=(-3,1)

 

II.

g(x)=(x-4)^2

mamy postać kanoniczną więc wierzchołki łatwo odczytać

p₂=4

q₂=0

W₂=(4,0)

 

No i teraz szukamy takiego punktu P(x,y), którego odległość od wierzchołka W₁ równa jest odległości od wierzchołka W₂ i jego współrzędne spełniają równanie x=y.

Czyli mamy, że:
|PW₁|=|PW₂|

x=y

 

Z drugiego równania wynika, że współrzędbe tego punktu muszą być takie same, zatem je odrazu podmienimy:

|PW₁|=√((x-p₁)²+(x-q₁)²)

|PW₁|=√((x-(-3))²+(x-1)²)

|PW₁|=√((x+3)²+x²-2x+1)

|PW₁|=√(x²+6x+9+x²-2x+1)

|PW₁|=√(2x²+4x+10)

 

|PW₂|=√((x-p₂)²+(x-q₂)²)

|PW₂|=√((x-4)²+(x-0)²)

|PW₂|=√(x²-8x+16+x²)

|PW₂|=√(2x²-8x+16)

 

rozwiązujemy równanie:

 

√(2x²+4x+10)=√(2x²-8x+16)

2x²+4x+10=2x²-8x+16

12x=6

x=6/12=1/2 ⇒ y=1/2

 

zatem:

P=(1/2,1/2)