Question

3. dany jest ciag o wyrazie ogolnym . wykaz ze dla kazdej liczby rzeczywistej x ten ciag jest arytmetyczny i wszystkie jego wyrazy sa dodatnie.

4. dany jest ciag o wyrazie ogolnym . wykaz ze dla kazdej liczby rzeczywistej p dany ciag jest ciagiem geometrycznym. wyznacz wszystkie wartosci parametru p, dla ktorych ten ciag jest rosnacy.

prosze o bardzo dokladne obliczenia i rozpisywanie z wyjasnieniem

Answer 1

z.3

Jeżeli

an = 5 n + x^2 + 4x + 10

to

an+1 = 5*(n +1) + x^2 + 4 x + 10 = 5 n + 5 + x^2 + 4x + 10

zatem

an+1 - an  = [ 5 n + 5 + x^2 + 4x + 10 ] - [ 5 n + x^2 + 4 x + 10 ] = 5

an jest ciągiem arytmetycznym o różnicy  r = 5

W(x) = x^2 + 4 x + 10

delta = 4^2 - 4*1*10 = 16 - 40  < 0

a = 1 > 0  zatem  dla każdej liczby rzeczywistej x   wielomian W(x) > 0

Również  dla dowolnej liczby naturalnej n  mamy 5 n > 0

czyli

dla dowolnej liczby rzeczywistej x  ten ciąg jest arytmetyczny i ma

wszystkie wyrazy dodatnie.

==========================

z.4

an = 2 ^( p n + p^2 + 10)

zatem

an+1 = 2^[ p*(n +1) + p^2 + 10] = 2^( p n + p + p^2 + 10 )

czyli

an+1 : an = 2^( p n + p + p^2 + 10)  : 2^( p n + p^2 + 10 ) = 2^p

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie

q = 2^p > 0

Obliczmy   a1

a1 = 2^( p*1 + p^2 + 10) = 2^( p^2 + p + 10 )

a1 = 2^( p^2 + p + 10)  > 0

Ponieważ  iloraz  q = 2^p , zatem

dla p = 0  mamy  q = 1  - ciąg  jest stały

dla   p < 0  mamy  0 < q < 1   - ciąg jest  malejący

dla p > 0    mamy   q  > 1  - ciąg jest rosnący.

Odp.Ciąg jest rosnący  dla  p > 0.

====================================