Question

Oblicz, o ile istnieje sumę szeregu: ½+¾+⁵/₈+...+(2n-1 / 2^n)+...

Answer 1

rozbijmy sumę na sumy:

2* (1/2 +2/4+3/8+...)-(1/2+1/4+1/8+...)

 

(1/2 +2/4+3/8+...)=(1/2+1/4+1/8+...)+(1/4+1/8+...)+(1/8+1/16+...)+...

mamy tutaj sumę nieskończonych sum geometrycznych:

wzór:

 

 

 

wracając do sumy:

 

suma szeregu to: 2* (1/2 +2/4+3/8+...)-(1/2+1/4+1/8+...)=2*2-1=3


nie wiem czy to zadanie szkolne czy poza szkolne.

Suma szeregu istnieje bo szereg jest zbieżny.
Sumę można również policzyć w inny sposób:

do policzeni mamy szereg:

 

policzmy sumę:

podstawienie:x=1/2

różniczkując obustronnie:

wracając do podstawienia: