Question

Wykaz ze podany ciag jest rosnacy a) an=4n+5/ n+2 b) an=n^2/ 2

Answer 1

a)               4n + 5                                                4(n + 1) + 5               4n + 9

      a (n) = -----------                        a (n+1) = -----------------  =  ---------

                     n + 2                                                 n + 1 + 2                   n + 3

 

     Aby wykazac, ze ciag jest rosnacy, nalezy udowodnic, ze  roznica   a(n+1)  -  a(n)   jest  

     wieksza od zera.

                                 4n + 9              4n + 5              (4n+9) (n+2) - (4n +5) (n+ 3)

     a(n+1) - a(n) = ------------  - ------------- = ----------------------------------- =

                                   n + 3               n + 2                     (n + 3) (n + 2)

 

                4n² + 8n + 9n + 18 - 4n² - 12n - 5n -15                   3

            = ---------------------------------------------- = -------------------   > 0

                   (n + 3)( n + 2)                                                         (n + 3) (n + 2)

 

           (w ciagach zakladamy, ze  n ∈ N⁺)

     Czyli ciag ten jest rosnacy,    c.n.d.

                  n²                                        (n +1)²            n² + 2n + 1

b)   a(n) = ------  ,               a(n+1) = ----------- = -------------

                   2                                             2                    2

 

                                 n² + 2n + 1                n²               2n + 1

     a(n+1) - a(n) = ----------------  -  ----------  = -----------   > 0

                                        2                          2                    2

    

       Czyli ciag ten jest rosnacy,   c.n.d.