Question

Rozwiąrz równanie 2sin2x+ctgx=4cosx, dla x nalezy <0,2pi>, ze zbioru rozwiazań tego równania losujemy 2 liczby . Oblicz prawdopodobieństwo , że co najmniej jendo z wylosowanych rozwiązań jest wielkrotnością liczby pi/2.

Answer 1

wiec pierwsze co to korzystamy ze wzorów które pomogą nam sprowadzic rownanie do jednej niewiadomej : wzory na podwojony x i na ctg ktory jest odwrotnością tg , równanie wtedy ma postać : 4sin^2cos - 4sin cos + cos = 0 (x pomijam sobie) i zauwazamy ze cos mozna wyciagnac przed nawias wiec : cos (4sin^2 - 4sin + 1) = 0 zatem cosx=0  i nawias = 0 ; nawias ma deltę rowna 0 wiec mamy jedno miejsce zerowe ktorym jest 1/2 czyli sinx=1/2 . Teraz zajmujemy sie przedzialem i odczytujemy z wykresow z tablic gdzie wartosc cos jest rowna 0 oraz gdzie sin przyjmuje wartosc 1/2 , i mamy

 

cosx=0  -> x= pi/2   i   x = 3/2 pi

sinx=1/2 -> x=pi/6   i  x= 5/6 pi

 

zbior rozwiazan to : x= pi/2     x = 3/2 pi    x=pi/6     x= 5/6 pi

zauwazmy ze wielokrotnoscią pi/2 sa tylko dwie liczby pi/2 i 3/2 pi zatem bedziemy szukac prawdopodobienstwa wylosowania 2 elementow z 4 , stosujemy wzor na kombinacje i mamy C (4 2 ) = 6 zatem omega wyn 6

|Q|=6

|A|=5 (co najmniej jedna jest wielokrotnoscia)

P(A)= 5/6

w razie pytań pisz , pozdrawiam :)