Question

Oblicz najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f w przedziale A, gdy:

a) f(x)=2x2-4x+3 i A=<1/2;2>

b) f(x)=-x2+3x-1 i A=<-1,1>

c)f(x)=x2+2 i A=<-2,3>

Answer 1

a)f(x)=2x2-4x+3 i A=<1/2;2>

z wzorów obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli  (p,q)

p = -b/2a     b=-4    a=2

q = -Δ /4a    Δ=b²-4ac     a=2    c=3

Δ=(-4)²-4·2·3

Δ=16-24=-8

p=-(-4)/2·2

p=4/4=1

q=-(-8)/4·2

q=8/8=1

współrzędne wierzchołka (1,1)

funkcja f osiągą wartośc maksymalną w punkcie (1,1). aby ocenić wartośc minimalną należy obliczyć ile wynosi funkcja na granicach przedziału. więc podstawiamy do wzoru funkcji liczby z przedziału   A=<1/2;2>

f(x)=2x2-4x+3

f(1/2)=2·(1/2)²-4·1/2+3      f(2)=2·2²-4·2+3

f(1/2)=1/2-2+3                    f(2)=8-8+3

f(1/2)=1 1/2                         f(2)=3

najmneijsza wartośc funkcji jest w punkcie (1,1) y=1 a największa w punkcie (2,3) y=3

 

b)postępujemy tak samo jak w poprzednim podpunkcie

f(x)=-x2+3x-1 i A=<-1,1>

p = -b/2a    b=3   a=-1

q = -Δ /4a

Δ=b²-4ac

Δ=3²-4·(-1)·(-1)

Δ=9-4=5

 

p=-3/2·(-1)

p=-3/-2=3/2

q=-5/4·(-1)

q=-5/-4=5/4

wierzchołek paraboli nie należy do podanego przedziału

A=<-1,1>

f(x)=-x2+3x-1

f(-1)=-(-1)²+3·(-1)-1    f(1)=-1²+3·1-1

f(-1)=-1-3-1                  f(1)=-1+3-1

f(-1)=-5                      f(1)=1 najwieksza waertośc funkcji

wartość największa funkcja osiąga w punkie (1,1)  y=1 najmniejsza w punkcie (-1,-5) y=-5

 

 

c)f(x)=x2+2 i A=<-2,3>

postępujemy analogicznie

p = -b/2a    b=0  a=1

q = -Δ /4a

Δ=b²-4ac

Δ=0²-4·1·2

Δ=0-8=-8

p=-0/2·1=0

q=-(-8)/4·1

q=8/4=2

wierzchołek paravboli  (0,2)

A=<-2,3>

f(x)=x2+2

f(-2)=(-2)²+2     f(3)=3²+2

f(-2)=6            f(3)=11

najmneijszą wartość funkcji jest w punkcie (0,2)y=2 a największa (3,11) y=11