Question

34/216

punkty a=(-3,1) i c=(7,1) sa przeciwleglymi wierzcholkami rombu abcd o boku rownym 8. wyznacz wspolrzedne wierzcholkow b i d oraz pole rombu.

dokladne obliczenia.

odp:

Answer 1

Aby wyznaczyć pozostałe wierzchołki, wystarczy znaleźć punkty, które są odległe od A i od C o 8. Zatem wystarczy znaleźć punkty wspólne okręgów o środkach w punktach A i C i promieniu r = 8.

 

Wyznaczamy równania okręgów [Rówanie okręgu o środku S = (a, b) i poromieniu r ma równanie: (x - a)² + (y - b)² = r²]:

1) o(A, r); r = 8 i A = (-3; 1)

(x + 3)² + (y - 1)² = 8²

(x + 3)² + (y - 1)² = 64

 

2) o(C, r); r = 8 i C = (7; 1)

(x - 7)² + (y - 1)² = 8²

(x - 7)² + (y - 1)² = 64

 

Otrzymujemy układ równań:

{(x + 3)² + (y - 1)² = 64

{(x - 7)² + (y - 1)² = 64 /·(-1)

 

{(x + 3)² + (y - 1)² = 64

{-(x - 7)² - (y - 1)² = - 64

______________________

(x + 3)² -(x - 7)² = 0

x² + 6x + 9 - x² + 14x - 49 = 0

20x - 40 = 0

20x = 40 /:20

x = 2

 

(x + 3)² + (y - 1)² = 64

(2 + 3)² + (y - 1)² = 64

5² + y² - 2y + 1 = 64

25 + y² - 2y + 1 - 64 = 0

y² - 2y - 38 = 0

Δ = (- 2)² - 4 · 1 · (- 38) = 4 + 152 = 156

√Δ = √156 = √4·39 = 2√39

y₁ = (2 - 2√39) / (2 · 1) = 2·(1 - √39) / 2 = 1 - √39

y₂ = (2 + 2√39) / (2 · 1) = 2·(1 + √39) / 2 = 1 + √39

Stąd:

Zatem:

 

Pole rombu wyraża się wzorem: P = ½·e·f; gdzie e, f to długość przekątnych rombu.

Długość odcinka AB o końcach A = (x₁; y₁) i B = (x₂; y₂) dana jest wzorem:

 

Stąd:

e = |AC| i f = |BD|

 

 

 

Odp.