Question

32/205

powierzchnia boczna stozka po rozwinieciu jest wycinkiem kola o kacie 90*. obwod podstawy tego stozka jest rowny 10 pi. oblicz dlugosc wysokosci stozka.

33/206

dany jest prostokat ABCD, w ktorym stosunek dlugosci bokow jest rowny 1:4. dlugosc krotszego boku AD wynosi a. w prostokacie tym polaczono wierzcholek A ze srodkiem E boku CD. oblicz odleglosc wierzcholka D od odcinka AE oraz stosunek dlugosci przekatnej prostokata do dlugosci odcinka AE.

do obu zadan dokladne obliczenia+ rysunek do drugiego zadania

Answer 1

zad1

katα=90°

obwod podstawy stozka l=10π

¼·2πl=10π /:π

½l=10

l=10·2

l=20---->dl.tworzacej stozka

2πr=10π /:2π

r=5---->dl.promienia 

z pitagorasa liczymy wysokosc h stozka

5²+h²=20²

25+h²=400

h²=400-25

h²=375

h=√375=5√15

odp:Wysokosc stozka rowna 5√15

 

zad2

stosunek dlugosci bokow rowny 1:4

zatem krotszy bok =a

dluzszy bok =4a

przekatna prostokata AC=d

AD=a

z pitagorasa:

a²+(4a)²=d²

a²+16a²=d²

17a²=d²

d=a√17

 

DE= ½·4a=2a

 

liczymy dl,odcinka AE

(2a)²+a²=(AE)²

4a²+a²=(AE)²

5a²=(AE)²

AE=a√5

stosunek dlugosci przekatnej= d do dlugosci odcinka  |AE| wynosi :

d/(AE)=a√17/a√5 =√17/√5=√85/5

 

odleglosc odcinak AE od wierzcholka D to wysokosc h opuszczona na przeciwprostokatna w Δ prostokatnym AED, z podobienstwa trojkatow wynika zaleznosc:

AD/h=AE/DC

a/h=(a√5)/2a

h·a√5=2a·a   /:a

h√5=2a

h=2a/√5 =(2a√5)/5

 

odp: Odleglosc wierzcholka D od odcinka AE wynosi h=(2a√5)/5 ,a stosunek dlugosci przekatnej prostokata do dlugosci odcinka AE  rowny √85/5