Question

3. wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla ktorych pierwiastki wielomianu w(x)=(x+2)(x-3m+6)(x-5) tworza ciag arytmetyczny. dla naturalnej wartosci parametru m rozwiaz nierownosc w(x)(x-12)<0

odp: m∈{5/2; -1,6};

dla m=6 nierownosc x∈(-2,5)

Answer 1

mamy 3 pierwiastki wielomianu: w(x)=0 <=> x=-2 v x=3m-6 v x=5

Teraz trzeba skorzystać z własności ciągu arytmetycznego, że środkowy wyraz równa się średniej z poprzedniego i następnego wyrazu. Tutaj będą 3 przypadki:
I.

-2=(3m-6+5)/2

-4=3m-1

3m=-3

m=-1

II.

3m-6=(5-2)/2

3m-6=3/2

3m=(3+12)/2

m=5/2

III.

5=(3m-6-2)/2

10=3m-8

3m=18

m=6

A więc m={-1;5/2;6}

6 Jest liczbą naturalną i wstawiamy ją za m, w(x)=(x+2)(x-12)(x-5)

Teraz w(x)(x-12)<0

(x+2)(x-12)(x-5)(x-12)<0

(x+2)(x-5)(x-12)^2<0

Teraz rysujemy oś (załącznik) i patrzymy, kiedy funkcja przyjmuje wartości ujemne. I to jest rozwiązanie zadania.

Odp: w(x)(x-12)<0 <=> xe(-2,5)